Question

高中数学导数题

已知函数f(x)=lnx,g(x)=(2a²)/(x²) (a＞0),设F(x)=f(x)+g(x).
1、求F(x)的单调区间
2、若以H(x)=f(x)+根号下(2g(x))，图像上任意一点P(x0,y0)为切点的切线斜率k≤1恒成立，求实数a的最小值。

要答案+过程。 过程尽量详细，谢谢

Answer 1

解：
(1)
F(x)＝f(x)＋g(x)＝lnx＋(2a²/x²) (x＞0)
F'(x)＝(1/x)－(4a²/x³)＝(x²－4a²)/x³ (x＞0)
∵a＞0，由F'(x)＞0，x∈(2a，＋∞)
由F'(x)＜0，x∈(0，2a)
∴F'(x)的单调递减区间为(0，2a)，单调递增区间为(2a，＋∞)

(2)
H(x)＝f(x)＋√[2g(x)]＝lnx＋(2a/x)
H'(x)＝(1/x)－(2a/x²) ≤1 (x＞0)
则2a ≥ －x²＋x，又－x²＋x ≤1/4
故2a ≥ 1/4
a ≥ 1/8
∴实数a的最小值是1/8.

Answer 2

3