Question

求出任意位置椭圆方程

已知椭圆的长度长度a,短轴长度b,中心坐标(x0,y0),长轴方向向量与X轴所成的角度(逆时针)θ.根据这些条件求出椭圆的方程.
只有这些分了,望高手帮忙!!!
因为我要编程求得平面上任意直线和任意椭圆的交点,所以需要形如:
a00*X^2+2*a01*XY+a11*Y^2+b0*X+b1*Y+c=0
的等式.以方便我转化成矩阵方程.
不知有没有简单的方法直接得出如上面形式所组成的椭圆方程?
希望高手指点!!!

椭圆标准方程是:X^2/a^2+Y^2/b^2=1.吧?

Answer 1

你最好先知道平移公式和旋转公式，直接推可是相当有难度，计算量……
这样我们只要把椭圆x²/a²+y²/b²=0先以原点为中心逆时针旋转θ，再按照向量a=(x0,y0)平移就好了。

平移：方程f(x,y)=0的图像按向量a=(h,k)平移后方程为f(x-h,y-k)=0
这根很简单的吧，高中课本里有。

旋转：这里指的是以原点为中心，逆时针旋转θ的旋转。
这个公式有些复杂，推导一下
我们设原图像f(x,y)=0,旋转后f(x',y')=0

现在要把f(x,y)=0上每一点(x,y)的x、y用x',y'表示，然后在代回f(x,y)=0，得到的就是旋转后的方程。[不太好理解，不懂再问我吧]

令r=√(x'²+y'²),cosα=x'/√(x'²+y'²),sinα=y'/√(x'²+y'²),
则x'=r*cosα，y'=r*sinα[这一个极坐标的思想]
这样f(x',y')=0上每一点就用 这点与原点的距离r 还有 这个“距离向量”与X轴的夹角α表示出来了

现在f(x',y')=0上一点(x',y')是由f(x,y)=0上一点(x,y)经逆时针旋转θ得到的

则
x=r*cos(α-θ)
y=r*sin(α-θ)
再结合cosα=x'/√(x²+y²),sinα=y'/√(x²+y²)

得
x=x'cosθ+y'sinθ
y=y'cosθ-x'sinθ
这样f(x,y)=0绕原点旋转θ的图像就变成了f(x'cosθ+y'sinθ,y'cosθ-x'sinθ)=0

现在我们来处理椭圆x²/a²+y²/b²=0
先旋转(xcosθ+ysinθ)²/a² + (ycosθ-xsinθ)²/b²=0
再平移按照向量a=(x0,y0)
得最终的椭圆方程为
[(x-x0)cosθ+(y-y0)sinθ]²/a² + [(y-y0)cosθ-(x-x0)sinθ]²/b²=0

累死了，你再看看吧，不懂或者觉得不对再问我。

你可以求直线与椭圆的交点了，你想a,b,sinθ,cosθ,x0,y0都是已知数！！！

那么那个方程就是一个二元二次方程了！！并且只要把平方打开就能得到形如Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0的式子，再把你的直线方程代入在化简，一定能得到形如Ax²+Bx+C=0的式子，然后这就是一元二次方程啊!!剩下的就不用我说了吧……你要是懒得自己算，再找我……