Question

大学数学微积分

上了大学，刚开始学数学，想不到在第一章第一个定义就被纠结了，表面上好像懂了，就一定义，实际上根本一点不懂，特别是运用这个“对于任意给定的正数e(不论多么的小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切Xn,不等式/Xn-a/<e都成立，则称a是数列的极限”定义去证明问题时，总感到怪怪的，但是又说不出来。。。。无奈只能看葫芦画瓢

例如证明lim1/n=0 n->无穷 (这里 n->无穷在lim的下方，下面同） 根据定义过程如下：/1/n-0/=1/n

可以知道，要使lim1/n=0 n->无穷 成立,那么对于任意给定的正数e, 1/n<e 要使1/n<e 即n>1/e 取N=1/e,则对于任意给定的e>0,当n>N时，就有/1/n-0/<e Q 即lim1/n=0 n->无穷

这样就是一个证明过程了，但是它跟我们高中的证明题差别好大啊，看上面的例子，我总不明白为什么在Q那个地方一下子就下结论了呢，有点无厘头。总感觉好像差了些什么，这两天忽然想到，在那个地方加入n->无穷属于n>N这句话时，我觉得这个证明才说得通

实际上Q前面的那些证明可以下一个结论，就是lim1/n=0，n>1/e 而n->无穷又属于n>N，所以才有lim1/n=0 n->无穷 ，也可以说1/e就是无穷吧。

而这题目本来问当n->无穷的时候lim1/n=0 这样才容易理解，这样题目条件和符合推论条件了，这样才好下结论，但是，如果是这样的话，那么所有这样的证明题目都是对的，因为n->无穷必定属于n>N 无穷必定大于N 所有这个没什么意义吧

没有比无限大的东西吧。

还是我理解错误呢，我还搞不懂。求教

Answer 1

同道中人啊，当时我在这一块儿内容的理解上也是费了很多功夫呢~就着你的问题本人趁机又温习了一遍，非常受益，下面再针对性补充一些自己的想法：
首先，我认为你的首要问题出在：还是在以高中学数学的一些思维方式思考问题，这也是关键问题所在。正如你说的
“特别是运用这个“对于任意给定的正数e(不论多么的小），总存在正整数N，使得对于n>N的一切Xn,不等式/Xn-a/<e都成立，则称a是数列的极限”定义去证明问题时，总感到怪怪的，但是又说不出来。。。。无奈只能看葫芦画瓢”
“但是它跟我们高中的证明题差别好大啊，看上面的例子，我总不明白为什么在Q那个地方一下子就下结论了呢，有点无厘头。总感觉好像差了些什么，这两天忽然想到，在那个地方加入n->无穷属于n>N这句话时，我觉得这个证明才说得通”
这里你会感到很怪，甚至无厘头，正是因为这里引入了“…任意小的正数ε，总存在着一个正整数N，使得对于n>N的一切X‹n›，不等式︱X‹n›-a︱<ε能成立…” 用这种严格代数形式的表达式给出极限概念，使得一个抽象的概念数字化了，由感性上升到了理性。 我认为这里可以这样理解：定义中“存在任意小正数”及“使得不等式︱X‹n›-a︱<ε能成立” 这两部分使得无限趋近于一值的概念得以准确表达，“总存在着一个正整数N，使得对于n>N的一切X‹n›”这部分使得n->无穷的概念得以表达（正如你所说的：
“…在那个地方加入n->无穷属于n>N这句话时，我觉得这个证明才说得通

实际上Q前面的那些证明可以下一个结论，就是lim1/n=0，n>1/e 而n->无穷又属于n>N，所以才有lim1/n=0 n->无穷 ，也可以说1/e就是无穷吧。”实际就是这个意思！
于是以上所有综合起来构成的定义就完整的给出了数列极限的概念！
不知以上是否说得明白了，总之在最后建议你进入大学后一定要摈弃一些高中时的初等思维方式，用更普遍的思维去想问题，否则将寸步难行！
其余就不再赘述了，相信这些再综合楼上两位所述，一定会对你有很大帮助！！
（建议http://baike.baidu.com/view/17644.htm#sub5120727看看，会很有用的！）

追问

用这种严格代数形式的表达式给出极限概念，使得一个抽象的概念数字化了，由感性上升到了理性。 我认为这里可以这样理解：定义中“存在任意小正数”及“使得不等式︱X‹n›-a︱N的一切X‹n›”这部分使得n->无穷的概念得以表达 的确只是说n->无穷的话，这样的话语更抽象了，这样不能用于实际问题

追答

你说的对，我们如果只是说n->无穷，这只能停留在一个抽象的地步，就好像悬浮在万里高空的感觉~而定义中给出的式子就解决了这个问题，用直观准确的数学语言把这个抽象概念描述出来了，一目了然，当然更方便了我们解决实际问题！

Answer 2

你这是关于数列的极限的定义问题。
定义：如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正整数N，使得对于n>N的一切
X‹n›，不等式︱X‹n›-a︱<ε能成立，则常数a就叫做数列X₁，X₂，X₃，。。。，X‹n›，。。。
当n→∞时的极限。
你举的例子是X‹n›=1/n，用极限定义证明：n→∞lim(1/n)=0.
证明：不伦预先给定的正数ε多么小，由︱1/n-0︱=1/n<ε，得n>1/ε，于是可取正整数N=1/ε，当
n>N时，恒有1/n<ε，故n→∞lim(1/n)=0.
这是什么意思呢？是说不管你预先给定的正数ε多么小，我总能找到一个正整数N，从那以后，即
n>N 以后，所有的X‹n›=1/n的值都小于ε。比如给定ε=0.1，则有N=10；当n>10，即1/11，1/12,
1/13， 。。。。，都小于0.1；
给定ε=0.01，则有N=100；当n>100，即1/101，1/102，1/103，。。。。，都小于0.01。
这里要注意的是：这一过程不能反复，即当n>N以后，任何时候，不等式︱X‹n›-a︱<ε总成立，不能过一段时间又不成立了！
极限定义难倒了多少英雄汉！又迷倒了多少英雄汉！

Answer 3

这个概念和高中极值的定义有类似的地方：
设函数f（x）在x。附近有定义，如果对x。，附近的所有的点都有f（x）<f（x。），则f（x。）是函数f（x）的一个极大值。 　　如果附近的所有的点，都有f（x）>f（x。），则f（x。）是函数f（x）的一个极小值，极大值与极小值统称为极值。
“其中附近的所有的点”是个模糊概念，和“对于任意给定的正数e(不论多么的小）”是类似的说法。数列极限的定义是说数列中有无数项（n>N）和a的差的绝对值无限接近（e可以无穷小），只有有限项（1到N，N可能会很大，但仍能计算，如几千几亿都可以，但一定是有限的)与a差值不在范围内。
拿你上面的例子说，a=0，若取e=0.1，那么，n大于10时，都满足条件，若e=0.01，那么n大于100时都行……得到结论：无论e多小，都能找到对应的n值。
也就是说，数列中有无限项随n的增大越来越靠近a，所以a就是极限。