Question

高数向量与解析几何问题

1.设向量a={2,-3,1},b={1,-2,3},c={2,1,2},向量r满足r⊥a,r⊥b,Prj(c)r=14,求r.

2.一平面通过X轴,且与平面x-y=0的夹角为∏／3,求该平面方程.

3.求通过点A(3,0,0)和B(0,0,1)且与xOy面成∏／3角的平面方程.

急用,要详细解题过程,希望会的大大能赐教一下~~

Answer 1

1、先求r的方向，由于r⊥a,r⊥b，则r的方向为a叉乘b＝(-7，-5，-1)，该向量在c上的投影为：(-7，-5，-1)的模乘以(-7，-5，-1)与c的夹角余弦,结果为-7,因此r是该向量的2倍，方向相反，r=(15,10,2）

2、设所求平面为By+Cz=0，该平面法向量与x-y=0法向量夹角为∏／3，
则cos∏／3=(0,B,C)点乘(1,-1,0)/((0,B,C)的模*(1,-1,0)的模)，解得B=C或B=-C，该平面为y-z=0，或y+z=0

3、设所求平面方程为ax+by+cz=d，将A，B两点代入,
3a=d，c=d，则平面化为ax+by+3az=3a，即x+(b/a)y+3z=3，记b/a=k，则x+ky+3z=3，法向量为(1,k,3)
该平面与xOy面夹角为∏／3，即(1,k,3)与(0,0,1)夹角为∏／3，由夹角公式可求出k