Question

求y=(x^2+4x-5)^(1/2)+(x^2-4x+8)^(1/2)的值域。

Answer 1

上面的解答明显有误。
这个题前面应该是+5，否则就不是高中题目了。
y=(x^2+4x+5)^(1/2)+(x^2-4x+8)^(1/2)
=[(x+2)^2+1]^(1/2)+[(x-2)^2+4]^(1/2)，
那么此题目即转化为在x轴上找一点（x，0），
它到点(-2,1)和点(2,2)的距离之和的取值范围即为原函数的值域，
距离的最小值为点（-2,1）到点(2,2)关于x轴对称的点(2,-2)的距离5，
无最大距离，
所以原函数的值域为【5，+∞】。

Answer 2

y=√[(x+2)^2-9]+√[(x-2)^2+4]
y'=(x+2)/√[(x+2)^2-9]+(x-2)/√[(x-2)^2+4]=0
(x+2)^2[(x-2)^2+4]=(x-2)^2[(x+2)^2-9]
4(x+2)^2=-9(x-2)^2, 此方程无解。
因此函数在定义域内单调。其定义域为x^2+4x-5>=0, (x-1)(x+5)>=0, x>=1 or x<=-5
x=1, y=√5
x=-5, y=√53
因此值域为[√5,+∞)

Answer 3

先求定义域：
(x^2+4x-5)^(1/2），所以x^2+4x-5要大于等于0，所以X>1或X<-5,在此区间x^2-4x+8恒大于0。所以定义域为（1，+∞)U(-∞,-5)。
值域：
x^2-4x+8在定义域内取值范围为x^2-4x+8的图像关于X=2对称，所以在1处最小值5，则取值范围为（√5，+∞）。