Question

请问谁有今年南通大学计算机学院的离散和模拟电路的期末考试试卷？

Answer 1

离散数学模拟试卷一答案
简答题（25%）：
解：R的关系矩阵表示为：

自反闭包:r(R) = {<a,a>,<b,b>,<c,c>,<d,d>, <a,b>,<b,a>, <b,c>,<c,d>}
对称闭包s(R) = {<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,<c,b>,<d,c>}
传递闭包t(R) = {<a,a>,<a,b>,<b,b>,<b,a>, <b,c>,<c,d>,<b,d>, <a,c>,<a,d>}

解：
⑴(P∨¬P)→¬Q的真值表如下所示：
P Q P∨¬P (P∨¬P)→¬Q
0 0 1 1
0 1 1 0
1 0 1 1
1 1 1 0
为可满足公式。

⑵(P→Q) (¬Q→¬P)的真值表如下所示：
P Q (P→Q) (¬Q→¬P) (P→Q) (¬Q→¬P)
0 0 1 1 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 1
1 1 1 1 1
为永真公式。

⑶G=(P∨Q)∧(¬P∨Q)∧(P∨¬Q)∧(¬P∨¬Q)的真值表如下所示：
P Q (P∨Q) (¬P∨Q) (P∨¬Q) (¬P∨¬Q) G
0 0 0 1 1 1 0
0 1 1 1 0 1 0
1 0 1 0 1 1 0
1 1 1 1 1 0 0
为永假公式。

⑷G=(P∧Q)∨(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)∨(¬P∧¬Q)的真值表如下所示：
P Q (P∧Q) (¬P∧Q) (P∧¬Q) (¬P∧¬Q) G
0 0 0 0 0 1 1
0 1 0 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0 1
1 1 1 0 0 0 1
为永真公式。

解；
不是格，∵有两个元素无下界。
是格，∵任意两个元素都有最小上界和最大下界。
是格，原因同(b)。
不是格，∵有两个元素无下界。

判断题（25%）：
1．解：
⑴ 命题为假。R∩S是反自反的，但ROS不一定是反自反的。例如R={<a,b>}，S={<b,a>}，集合A={<a,b>}，则ROS={<a,a>}不是反自反的。
⑵命题为假。R∩S是传递的，但ROS不一定是可传递的。例如：集合A={1,2,3,4,5}，R={<1,2>,<3,4>}，S={<2,3>,<4,5>}，则ROS={<1,3>,<3,5>}不是可传递的。
⑶ 命题为真。
⑷命题为假。例如：集合A={a,b,c}，R={<a,b>,<b,c>}， S={<b,b>,<c,a>}，则R与S都是反对称的，但ROS={<a,b>,<b,a>}不是反对称的。

2．解：因为对任意x，y∈R，|x-y|=|y-x|，所以x*y=y*x，故*是可交换的。而对1，2，3∈R，（1*2）*3=||1-2|-3|=2，而1*（2*3）=|1-|2-3||=0，所以（1*2）*3≠1*（2*3），故*不是可结合的。因为对每个x∈R，都不可能使对任意y∈R有x*y=y成立，所以R中不存在关于*的幺元。

3．判断下图中哪些图中有欧拉回路？
有欧拉回路
有欧拉回路
没有欧拉回路
没有欧拉回路

证明题（35%）：
证明：
∵fOg=IA是双射，∴f是内射，g是满射，
∵gOf=IB是双射，∴g是内射，f是满射，
所以g，f是双射，故g，f均可逆。
gOfOf-1=（gOf）Of-1=IBOf-1=f-1
gOfOf-1=gO(fO f-1)=gOIA=g，故g=f-1
fOgOg-1=（fOg）Og-1=IAOg-1=g-1
fOgOg-1=f O(gOg-1)=fOIB=f，故f=g-1 。

证明：
P∨Q P
¬P→Q T，①，E
Q→S P
¬P→S T，②，③，I
¬S→P T，④，E
P→R P
¬S→R T，⑤，⑥，I
SVR T，⑦，E

证明：
¬(x)Q(x) P
（x）（¬P(x)） P
（x）(¬Q(x)) T，①，E
（x）（¬P(x)）∧（x）(¬Q(x)) T，②，③，I
（x）（¬P(x)∧¬Q(x)） T，④，E
¬P(y)∧¬Q(y) US，⑤
¬P(y)∨Q(y)） T，⑥，E
（x）（P(x)∨Q(x)） P
P(y)∨Q(y) US，⑧
（P(y)∨Q(y)）∧¬（P(y)∨Q(y)） T，⑦，⑨，I

证明：
已知<G;*>是一个独异点，则存在幺元e，且*运算满足结合律，又已知对于G中的每一个元素x都有x*x=e，所以每一个元素x都有逆元为x，故<G;*>是群。
对任意a,b∈G，有(a*b)*(a*b)=e
a*(b*(a*b))=a*a
b*(a*b)=a
则b*(b*(a*b))=b*a
e*(a*b)=b*a
a*b=b*a
因此满足交换律。
所以<G;*>是一个阿贝尔群。

综合题（15%）：
解：
⑴ P→(P∧(Q→P)) P→(P∧(¬Q∨P))
¬P∨(P∧(P∨¬Q)
¬P∨P 1
∴P→(P∧(Q→P))的主合取范式为空。
主析取范式为(¬P∧Q)∨(P∧¬Q)∨(P∧Q)∨(¬P∧¬Q)

⑵ (Q→P)∧(¬P∧Q) (¬Q∨P)∧(¬P∧Q)
(¬Q∨P)∧¬(¬Q∨P) 0
∴(Q→P)∧(¬P∧Q)的主析取范式为空。
主合取范式为(¬P∨Q)∧(P∨¬Q)∧(P∨Q)∧(¬P∨¬Q)

解：下图表示比赛可能进行的各种情况，图中，标甲的表示甲胜，标乙的表示乙胜。这是一棵完全二元树。

Answer 2

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