Question

在三角形ABC中，a方乘以tanB=b方tanA,判断三角形ABC的形状。

用高2上学期人教B版知识解答

Answer 1

在△中，a/b=sinA/sinB 这叫正弦定理。
a²tanB=b²tanA
所以 a²/b²=tanA/tanB
由正弦定理得：
a²/b²=sin²A/sin²B
所以sin²A/sin²B=tanA/tanB
sin²A/tanA=sin²B/tanB
sinAcosA=sinBcosB
1/2sin(2A)=1/2sin(2B) 这里用到了二倍角公式 sin(2α)=2sinα·cosα
sin(2A)-sin(2B)=0
2sin(A-B)·cos(A+B)=0 和差化积公式 sinx-siny=2sin(x/2-y/2)·cos(x/2+y/2)
∴sin(A-B)=0 或cos(A+B)=0
∴A=B 或A+B=π/2
等腰或直角

Answer 2

有正弦定理的 a=2rsinA,b=2rsinB
代入到已知式中(2rsinA)²tanB=(2rsinB)²tanA
即4r²sin²AtanB=4r²sin²BtanA
即sin²AtanB=sin²BtanA
即sin²AsinB/cosB=sin²BsinA/cosA
所以sinA/cosB=sinB/cosA
即sinAcosA=sinBcosB
所以2sinAcosA=2sinBcosB
即sin2A=sin2B
即2A=2B或2A+2B=180
所以A=B或A+B=90
a所以此三角形为直角三角形或等腰三角形

Answer 3

tanA=tanB,故为等腰或直角

Answer 4

a=2rsinA,b=2rsinB 代入到已知式中(2rsinA) 2;tanB=(2rsinB) 2;tanA 所以A=B或A B=90 a所以此三角形为直角三角形或等腰三角形 利用正弦