若m＞0，n＞0，m+n=1，求证：（m+1/m）^2+(n+1/n)^2≥25/2
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（m+1/m）^2+(n+1/n)^2
=m^2+1/m^2+2+n^2+1/n^2+2
=m^2+n^2+1/m^2+1/n^2+4
=m^2+n^2+(m^2+n^2)/(mn)^2+4
m^2+n^2=（m+n)^2-2mn
因为m＞0，n＞0，m+n=1
m=1-n
mn=（1-n）n=n-n^2=-（n^2-n+1/4）+1/4=-（n-1/2）^2+1/4≤1/4
所以m^2+n^2=（m+n)^2-2mn1-1/2=1/2
（m+1/m）^2+(n+1/n)^2
=m^2+n^2+(m^2+n^2)/(mn)^2+4
≥1/2+（1/2）/（1/4)^2+4=1/2+8+4=25/2
=m^2+1/m^2+2+n^2+1/n^2+2
=m^2+n^2+1/m^2+1/n^2+4
=m^2+n^2+(m^2+n^2)/(mn)^2+4
m^2+n^2=（m+n)^2-2mn
因为m＞0，n＞0，m+n=1
m=1-n
mn=（1-n）n=n-n^2=-（n^2-n+1/4）+1/4=-（n-1/2）^2+1/4≤1/4
所以m^2+n^2=（m+n)^2-2mn1-1/2=1/2
（m+1/m）^2+(n+1/n)^2
=m^2+n^2+(m^2+n^2)/(mn)^2+4
≥1/2+（1/2）/（1/4)^2+4=1/2+8+4=25/2
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