Question

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设双曲线x^2/a^2-y^/b^2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，点P是在双曲线上的一个动点（不是顶点），从点A引双曲线的两条渐近线的平行线，与直线OP分别交于Q，R两点，其中O为坐标原点，则：|OP|^2与|OQ|·|OR|的大小关系是：（）

A、|OP|^2<|OQ|·|OR|

B、|OP|^2>|OQ|·|OR|

C、|OP|^2=|OQ|·|OR|

D、不能确定。

Answer 1

选C

渐进线： L： y=b/a*x x=a/b*y
L1： y=-b/a*x x=-a/b*y
P（xp，yp） A（a，0）
A引双曲线的渐进线L平行线L2： a/b*y=x-a
A引双曲线的渐进线L1平行线L3： a/b*y=a-x
OP所在直线的方程L4： xp*y=yp*x
联立： a/b*y=x-a xp*y=yp*x
得出R的坐标： xr=ab*xp/（b*xp-a*yp） yr=ab*yp/（b*xp-a*yp）
联立： a/b*y=a-x x1*y=y1*x
得出Q的坐标： xr=ab*xp/（b*xr+a*yp） yr=ab*yp/（b*xp+a*yp）
向量OR=[ab*xp/（b*xp-a*yp）,ab*yp/（b*xp-a*yp）]
向量OQ=[ab*xp/（b*xr+a*yp），yr=ab*yp/（b*xp+a*yp）]
|OQ*OR|=a²b²xp²/（b²xp²-a²yp²）+a²b²xp²/（b²xp²+a²yp²)
P在x²/a²-y²/b²=1上， b²xp²-a²yp²=a²b²
∴|OQ*OR|=xp²+yp²
而│OP│²=xp²+yp²
所以|OP|²=|OQ|·|OR|