Question

问几道高二数列题，求详解

1、有四个数a1、a2、a3、a4前3个数成等差，后3个数成等比，a1+a4=16，a2+a3=12，求a1、a2、a3、a4

2、已知数列{an}的前n项和为Sn=12n-n²，求数列{|an|}的前n项和Tn

3、在[1000,2000]内能被4除余1的自然数的和Sn。

求详解！好的话加分！谢谢。

Answer 1

1.a3=12-a2
a1+a3=2a2,a1=2a2-a3=2a2-(12-a2)=3a2-12
a2*a4=a3^2,a4=a3^2/a2=(12-a2)^2/a2=(a2^2-24a2+144)/a2=a2-24+144/a2
a1+a4=4a2+144/a2-36
∴4a2+144/a2=16+36=52,a2+36/a2=13,a2^2-13a2+36=0,(a2-4)(a2-9)=0,a2=4或9
当a2=4时，a3=8,a1=0,a4=16（0,4,8,16）
当a2=9时，a3=3,a1=15,a4=1（15,9,3,1）
2.an=Sn-S(n-1)=(12n-n^2)-[12(n-1)-(n-1)^2]
=12n-n^2-(12n-12-n^2+2n-1)=12n-n^2-12n+12+n^2-2n+1=-2n+13
|an|=an（当n<=6时）
|an|=-an（当n>=7时）
当n<=6时，Tn=Sn=12n-n^2
当n>=7时，Tn=-Sn+2S6=(12n-n^2)+2(12*6-6^2)=12n-n^2+72
3.被4除余1的数按顺序组成一个等差为4的等差数列，
其首项为1001，末项为1997
∴项数为(1997-1001)/4+1=250，
Sn=(1001+1997)*250/2=374750

Answer 2

1.两个已知显性条件，两个隐性条件（等差，等比），一共四个条件，四个未知数恰好可以解出方程，逐步消元a4, a2, a1,得到a3的方程(12-a3)(3a3-8)=(a3)^2解得a3=3或者8;反代回去得到a1,a2,a3,a4分别为0,4,8,16或者15,9,3,1.
2. 由条件知道an=s(n)-s(n-1)=12n-n^2-12(n-1)+(n-1)^2=13-2n,所以前面6项为正，后面为负，所以Tn=Sn=12n-n^2,当n≤6时；对于n>6的情况一种方法是直接运用求和公式来算，这个留给你了，我下面用另一种方法算：由-Sn=n^2-12n,而-Sn与Tn只有前面6项不同，所以Tn比-Sn就多了前面6项和的两倍，因此Tn=-Sn+2S6=n^2-12n+2(11+9+7+5+3+1)=n^2-12n+72 (当n>6时)。
3.被4除余1的数为4k+1,k的范围从250到499一共250个数，所以最后结果sn=4(250+499)*250/2+250=374750.
记得自己动手算一遍，看我有没有笔误。我做完就不给你再检查的了。

Answer 3

1,设 a-d，a,a+d,(a+d)^2/a
a4+a1=16
a+2d+d^2/a+a-d=16
2a+d+d^2/a=16 （1)
a2+a3=12
2a+d=12 (2)
(1)-(2)
d^2/a=4
a=d^2/4 (3)
(3) 代入（1)
d^2/2+d=12
d1=4,d2=-6
a1=4,a2=9
0,4,8,16 或15，9,3,1
2）s=1/2dn^2-1/2n+a1n
1/2d=-1
d=-2
a1+1=12
a1=11
(1)n<=5
Tn=(12-n)n
(2)n>5
Tn=35+[1+1+（n-6)*2]*(n-5)/2
=35(n-5)^2
3)(1001+1997)/2[(1997-1001)/4+1]=374750