Question

三角形ABC中，A=1\3∏，bc=3，则三角形ABC的周长为

Answer 1

由正弦定理,有
BC/sinA=AC/sinB=AB/sinC
得AC=BCsinB/sinA=3sinB/sin60°=3sinB/(√3/2)=2√3sinB
AB=BCsinC/sinA=BCsin[180°-(A+B)]/sinA=3sin(60°+B)/sin60°
=(3sin60°cosB+3sinBcos60°)/sin60°
=3cosB+3sinBcot60°
=3cosB+√3sinB
AB+BC+AC=3cosB+√3sinB+3+2√3sinB=3√3sinB+3cosB+3
ΔABC的周长是3√3sinB+3cosB+3

追问

最后答案若只用sin表示，没有cos,怎么办

追答

由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC
由合比定理,分子分母相加得a/SinA=(b+c)/(SinB+SinC)
那么b+c=(SinB+SinC)a/SinA
周长=a+b+c=a[1+(SinB+SinC)/SinA]
①=3[1+SinB/(√3/2)+Sin(2π/3-B)/(√3/2)]{这步用到了A+B+C=π}
②=3+2√3(SinB+Sin(2π/3)CosB-SinBCos(2π/3)){差角正弦}
=3+2√3（sinB+√3/2 cos⁡B-1/2 sin⁡B）
=3+2√3 sin（B+π/6）
=3+2√3 sin2（B/2+π/6）
=3+2√3【2sin（B/2+π/6）cos（B/2+π/6）】
......拆开
③=3+2√3(3SinB/2+√3CosB/2)
④=3+6(SinB*√3/2+CosB*1/2){提出√3以便利用和角正弦公式}
⑤=3+6Sin(B+π/6).