Question

已知定义域为R的函数f(x)=（-2^x+b)/（2^（X+1）+a）是奇函数

（1）求a,b的值
（2）若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)>0恒成立，求k的值

Answer 1

解：
因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0
即(b-1)/(a+2)=0
则 b=1

因为 f(x)是奇函数，所以f(-1)=-f(1)
即(b-1/2)/(a+1)=-(b-2)/(a+4)
1/[2(a+1)]=1/(a+4)
2(a+1)=a+4
则a=2

综上：a=2,b=1
f(x)分离常数得，f(x)=1/(1+2^x)-1/2可知f(x)为减函数。
f(t^2-2t)+f(2^t-k)<0,由奇函数性质得f(t^2-2t)<-f(2^t-k)=f(k-2t^2),
t^2-2t>k-2^t,k<3^t-2t的最小值,3^t-2t>=-1/3,k<-1/3

Answer 2

（1）对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a•2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a•2^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a=2.
（2）F(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)
(1)对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1.
F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)
又有F(-x)=- F(x)
(-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x
(-1+2^x)/(2+a•2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a)
所以2+a•2^x=2^(x+1)+a
a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a=2.
(2)f(t²-2t)+f(2 t²-k)<0
f(t²-2t) < -f(2 t²-k)……利用奇函数定义
f(t²-2t) < f(k-2 t²)……利用单调递减
所以t²-2t> k-2 t²
K<3t²-2t
3t²-2t=3(t-1/3) ²-1/3≥-1/3
所以恒成立时，只需k小于函数3t²-2t的最小值即可。
∴K<-1/3.
http://zhidao.baidu.com/question/57212865.html