Question

求解1^3+2^3+3^3+…n^3

Answer 1

证明1^3+2^3+3^3+...+n^3=(1+2+3+...+n)^2=[n(n+1)/2]^2

n^4-(n-1)^4
=[n^2-(n-1)^2][n^2+(n-1)^2]
=(2n-1)(2n^2-2n+1)
=4n^3-6n^2+4n-1
2^4-1^4=4*2^3-6*2^2+4*2-1
3^4-2^4=4*3^3-6*3^2+4*3-1
4^4-3^4=4*4^3-6*4^2+4*4-1
......
n^4-(n-1)^4=4n^3-6n^2+4n-1
各等式全部相加
n^4-1^4=4*(2^3+3^3+...+n^3)-6*(2^2+3^2+...+n^2)+4(2+3+4+...+n)-(n-1)
n^4-1^4=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)+4(1+2+3+4+...+n)-(n-1)-2
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-6*n(n+1)(2n+1)/6+4*n(n+1)/2-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
n^4-1=4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)-n(n+1)(2n+1)+2n(n+1)-n-1
4*(1^3+2^3+3^3+...+n^3)
=n^4-1+n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n+1
=n^4-1+(n+1)(2n^2-n)+n+1
=n^4-1+(2n^3+n^2-n)+n+1
=n^4+2n^3+n^2
=(n^2+n)^2
=(n(n+1))^2

1^3+2^3+3^3+...+n^3
=[n(n+1)/2]^2

Answer 2

由(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1得：
1=1^4
2^4=(1+1)^4=1^4+4*1^3+6*1^2+4*1+1
3^4=(2+1)^4=2^4+4*2^3+6*2^2+4*2+1
4^4=(3+1)^4=3^4+4*3^3+6*3^2+4*3+1
……
(n+1)^4=n^4+4*n^3+6*n^2+4*n+1
以上等式两边分别相加得：
(n+1)^4=1+4（1^3+2^3+3^3+……+n^3）+6（1^2+2^2+3^2+……+n^2）+4（1+2+3+……+n）+n a
令1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=t 因为：1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6;
1+2+3+……+n=n(n+1)/2
代入a中可得：t=(n+1)^2*n^2/4
即1^3+2^3+3^3+4^3+……+n^3=(n+1)^2*n^2/4

Answer 3

当作数列的前n项和来求解。先提个3出来，变成3*(1+2+3+...+n)。用数列前n项和公式得3*[n(1+n)/2]，变形得(3n^2+3n)/2。（注意n^2的意思是n的二次方，*是乘）

Answer 4

1^2 2^2 3^2 …… n^2=n(n 1)(2n 1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2 (n-1)^2 n(n-1)] =n^2 (n-1)^2 n^2-n