Question

初中数学 比例线段

在RT△ABC中，用a,b,c表示其各边，其中c为斜边，若 b/(c+a) + a/(c+b)=17/20，求a:b:c

用初中知识解

多谢高手

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Answer 1

b/(c+a)+a/（c+b)=17/20=3/5+1/4
假设b/(c+a)=3/5
a/（c+b)=1/4
整理有
5b=3c+3a
4a=c+b
解得15a=8b，17a=8c，17b=15c
a^2+b^2=(64/289+225/289)c^2=c^2
所以上述假设成立
这个是巧算法，用于填空题

一般的解法
c²-a²=b²
(c+a)(c-a)=b²,
b/(a+c)=(c-a)/b=(c-a+b)/(a+b+c)
∴2c/(a+b+c)=17/20,17(a+b)=23c, (a+b)/c=23/17 ,不妨令c=17, 那么a+b=23，又因为a²+b²=17²,所以(a+b)^2-(a²+b²)=23²-17²,可以得到ab=120，所以a,b是方程x²-23x+120=0 的根,可以得到a=8,b=15或是a=15,b=8
所以a：b：c＝8:15:17或是15:8:17

追问

请问1L【一般解法】的第三行
b/(a+c)=(c-a)/b,这一步我懂，但是后面的那一步：(c-a+b)/（a+b+c)怎么来的
麻烦讲解一下

追答

比例的合分比性质：
若 a/b=c/d 则 (a+b)/(a-b)=(c+d)/(c-d)
初中学比例应该学了这个性质的

另外巧算法里面是假设b/(c+a)=3/5得到的是a:b:c=8:15:17
如果设b/(c+a)=1/4 可以得到a:b:c=15:8:17，与一般解法的结果是一样的，有两个结果