Question

数学椭圆

已知椭圆E：x^2/a^2+y^2/b^2=1的右焦点恰好是抛物线C：y^2=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点，过点A的直线L交抛物线C于M，N两点，满足OM⊥ON，其中O是坐标原点。
1.求椭圆E的方程
2.过椭圆E的左顶点B作y轴平行线BQ，过点N作x轴平行线NQ，直线BQ与NQ相交于点Q。若△QMN是以MN为一条腰的等腰三角形，求直线MN的方程。

Answer 1

F（1，0）设M（x1，y1），N（x2，y2），因为x=a时，a要等于1，OM⊥ON，所以斜率存在，过点A直线为y=k(x-a)，代入y^2=4x。x1x2=a^2，y1y2=-4a，因为OM⊥ON，所以x1x2+y1y2=0，所以a=4，所以椭圆方程为x^2/16+y^2/15=1
当QN=MN时，QN=x2+4，MN=x1+x2+2，所以x1=2，M（2，-2根号2），此时k=根号2
方程是y=根号2×（x-4）
当QM=MN时，直线MN的斜率k1和MQ斜率k2为相反数。k1=y2-y1/x2-x1，k2=y2-y1/-4-x1，所以x2=2x1+4，所以x1x2=x1（2x1+4）=16，x1=2或-4（不成立舍去），x1=2时与上一种情况相同，所以△QMN其实也是正三角形