Question

等腰直角三角形 ABC中，角ABC=90度，AB=BC，角BAC=角ACB=45度。

1）图1，PE垂直AC于E，连接CP，取PC中点 G,连接EG BG ， EG 、BG的数量关系 ____,位置关系_____.
2）图2，将图1中，三角形AEP绕A顺时针旋转45度,连接PC,取PC中点 G，连接EG,BG，（1）中结论是否成立，说明理由
3）若将图1中的三角形AEP绕 A旋转 ,使P、E、C三点共线， G为 CP中点,如图3，用等式表示CE、PE 、BG的关系并证明。

Answer 1

1）图1，PE垂直AC于E，连接CP，取PC中点 G,连接EG BG ， EG 、BG的数量关系 相等,位置关系垂直.
2）图2，将图1中，三角形AEP绕A顺时针旋转45度,连接PC,取PC中点 G，连接EG,BG，上面结论.
画辅点,（AP、CB交于D),连接AD、 CD，过G作AC的垂线交AC于F.
AB是三角形ACD的角平分线，所以CB=BD,∵CG=GP,
∴△CGB∽△CPD ∴∠ADC=∠CBG=∠GBA=45
BG是直角三角形ABC的角平分线，而GB垂直于AC，所以GGF三点共线，∴△CFG∽△CAP
GF=AP的1/2
直角△AFB,和直角△AEP,通过勾股定理，可以很方便的证明到:BG:BF=BE:BA
∴△AFB∽△EGB, ∴∠CAB=∠GEB=45
∴△EGB为等腰直角三角形

3）若将图1中的三角形AEP绕 A旋转 ,使P、E、C三点共线:这个描述是有问题的，（如果只是旋转△AEB,而要P、E、C三点共线，这个是不能成立的，旋转并缩放△AEB才行）
其等量关系：CE=PE+2BG
证明： ∵CG=GP △AEP、△ABC为等腰直角三角形
可以证明：GE=GB
CE=CG+GE=PG+GE=PE+GE+GE=PE+GB+GB=PE+2GB

Answer 2

解，
三角形abc中，∠bac=60°
ab=6
所以，ac=6×cos60°=3
又有题意可有∠b′ac=60°＋60°=120°
ab′=6
所以，由余弦定理有
|b′c|²=|ab′|²＋|ac|²-2|ab′|×|ac|×cos120°
=36+9+36×0.5
=63
所以
|b′c|=3√7
\
希望能帮到你

Answer 3

1.相等、垂直，因为EG、BG分别是以CG为斜边的两个直角三角形的斜边中线，且都等于1/2CG，角EGP=2角ACP (外角等于不相两内角和，又因EG=GC)，角BGP=2角BCP，所以角EGB=角EGP+角BGP=2(角ECP+角BCP)=2角ACB=90，所以垂直。
2.成立。
3.CE=PE+2BG

Answer 4

=；垂直
成立