Question

，已知抛物线 y=x2-4x+3与x 轴交于两点A、B，其顶点为C．

(1)对于任意实数m，点M（m，-2）是否在该抛物线上?请说明理由；
(2)求证:△ABC是等腰直角三角形；
(3)已知点D在x轴上，那么在抛物线上是否存在点P，使得以B、C、D、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，
∴-2=m2-4m+3，
∴m2-4m+5=0，
∴△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴此方程无实数解，
∴点M（m，-2）不会在该抛物线上；
（2）如图，当y=0时，x2-4x+3=0，x1=1，x2=3，由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x2-4x+3
∴y=（x-2）2-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在这样的点P．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y=x2-4x+3上，
∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-，x2=2+，
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）．

Answer 2

(1)令x^2-4x+3=-2，方程无实根，所以不在该抛物线上
(2)不难求得A(1,0),B(3,0),C(2,-1),AC=BC=√2,AB=2,符合勾股定理，故为等腰直角三角形
(3)假设BCDP为平行四边形，那么BD为对角线，C点和P点到BD的距离应该相等，BD即X轴，C点到BD距离为1，所以P点的Y坐标为1，令x^2-4x+3=1，解此方程即可求得P点坐标（有两个）。

Answer 3

解：（1）假如点M（m，-2）在该抛物线上，
∴-2=m2-4m+3，
∴m2-4m+5=0，
∴△=（-4）2-4×1×5=-4＜0，
∴此方程无实数解，
∴点M（m，-2）不会在该抛物线上；
（2）如图，当y=0时，x2-4x+3=0，x1=1，x2=3，由于点A在点B左侧，
∴A（1，0），B（3，0）
∴OA=1，OB=3，
∴AB=2
∵y=x2-4x+3
∴y=（x-2）2-1，
∴C（2，-1），
∴AH=BH=CH=1
在Rt△AHC和Rt△BHC中，由勾股定理得，
AC=，BC=，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形；

（3）存在这样的点P．
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点P与点C的线段应被x轴平分，
∴点P的纵坐标是1，
∵点P在抛物线y=x2-4x+3上，
∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-，x2=2+，
∴点P的坐标是（2-，1）或（2+，1）．