Question

已知函数f(x)=1/2x^2+(a-3)x+lnx,若函数是定义域上的单调函数，求实数a的最小值

已知函数f(x)=1/2x^2+(a-3)x+lnx,若函数是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；在函数f(x)的图象上是否存在两点A（x1,y1）B（x2,y2）,线段　AB的中点的横坐标是x0，直线AB的斜率为K，有中＝f'(x)成立？若存在求出x0，若不存在，说明理由

Answer 1

已知函数f(x)=(1/2)x^2+(a-3)x+lnx,若函数是定义域上的单调函数，求实数a的最小值；在函数f(x)的图象上是否存在两点A（x1,y1）B（x2,y2）,线段　AB的中点的横坐标是x0，直线AB的斜率为K，有中＝f'(x)成立？若存在求出x0，若不存在，说明理由
解：f(x)的定义域为：x>0；
f′(x)=x+a-3+(1/x)=x+(1/x)+a-3≧2+a-3=a-1≧0，故a≧1，即amin=1.
即当a取最小值1时，f(x)在(0，+∞)上单调增。
f(x)=(1/2)x²-2x+lnx，f′(x)=x-2+(1/x)；
X0=(x₁+x₂)/2，依题意有：
[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)=f′[(x₁+x₂)/2]
[(1/2)x²₂-2x₂+lnx₂-(1/2)x²₁+2x₁-lnx₁]/(x₂-x₁)=[(x₁+x₂)/2]-2+2/(x₁+x₂)
[(1/2)(x₂+x₁)(x₂-x₁)-2(x₂-x₁)+lnx₂-lnx₁]/(x₂-x₁)=(x₁+x₂)/2-2+2/(x₁+x₂)
故得(lnx₂-lnx₁)/(x₂-x₁)=2/(x₁+x₂)=1/X0
故得X0=(x₂-x₁)/(lnx₂-lnx₁)
比如，取x₁=1，x₂=2，则X0=1/ln2.

Answer 2

1) 定义域为x>0
f'(x)=x+(a-3)+1/x
x+1/x>=2, f'(x)>=2+a-3=a-1, 要使其在定义为单调函数 因此有：a-1>=0, 得a>=1，a的最小值为1.
2)假设存在两个这样的不同点，则有
x0=(x1+x2)/2
y1=x1^2/2+(a-3)x1+lnx1
y2=x2^2/2+(a-3)x2+lnx2
k=(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/2+(a-3)+[ln(x2/x1)]/(x2-x1)
f'(x0)=x0+(a-3)+1/x0=(x1+x2)/2+(a-3)+2/(x1+x2)
由k=f'(x0)---> ln(x2/x1)/(x2-x1)=2/(x1+x2)---> ln(x2/x1)=2(x2-x1)/(x1+x2)
令t=x2/x1, 得lnt=2(t-1)/(t+1)=2-4/(t+1)
令g(t)=lnt-2+4/(t+1), g'(t)=1/t-4/(t+1)^^2=(t-1)^2/t(t+1)^2>=0
因此g(t)为单调增函数，至多只有一个根，而因g(1)=0,知此根为1.此时x1=x2,与题意不符。因此不存在这样的两个不同点。

Answer 3

) 定义域为x>0
f'(x)=x+(a-3)+1/x
x+1/x>=2, f'(x)>=2+a-3=a-1, 要使其在定义为单调函数 因此有：a-1>=0, 得a>=1，a的最小值为1.
2)假设存在两个这样的不同点，则有
x0=(x1+x2)/2
y1=x1^2/2+(a-3)x1+lnx1
y2=x2^2/2+(a-3)x2+lnx2
k=(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/2+(a-3)+[ln(x2/x1)]/(x2-x1)
f'(x0)=x0+(a-3)+1/x0=(x1+x2)/2+(a-3)+2/(x1+x2)
由k=f'(x0)---> ln(x2/x1)/(x2-x1)=2/(x1+x2)---> ln(x2/x1)=2(x2-x1)/(x1+x2)
令t=x2/x1, 得lnt=2(t-1)/(t+1)=2-4/(t+1)
令g(t)=lnt-2+4/(t+1), g'(t)=1/t-4/(t+1)^^2=(t-1)^2/t(t+1)^2>=0
因此g(t)为单调增函数，至多只有一个根，而因g(1)=0,知此根为1.此时x1=x2,与题意不符。因此不存在这样的两个不同点。

Answer 4

1) 定义域为x>0
f'(x)=x+(a-3)+1/x
x+1/x>=2, f'(x)>=2+a-3=a-1, 要使其在定义为单调函数 因此有：a-1>=0, 得a>=1，a的最小值为1.
2)假设存在两个这样的不同点，则有
x0=(x1+x2)/2
y1=x1^2/2+(a-3)x1+lnx1
y2=x2^2/2+(a-3)x2+lnx2
k=(y2-y1)/(x2-x1)=(x2+x1)/2+(a-3)+[ln(x2/x1)]/(x2-x1)
f'(x0)=x0+(a-3)+1/x0=(x1+x2)/2+(a-3)+2/(x1+x2)
由k=f'(x0)---> ln(x2/x1)/(x2-x1)=2/(x1+x2)---> ln(x2/x1)=2(x2-x1)/(x1+x2)
令t=x2/x1, 得lnt=2(t-1)/(t+1)=2-4/(t+1)
令g(t)=lnt-2+4/(t+1), g'(t)=1/t-4/(t+1)^^2=(t-1)^2/t(t+1)^2>=0
因此g(t)为单调增函数，至多只有一个根，而因g(1)=0,知此根为1.此时x1=x2,与题意不符。因此不存在这样的两个不同点。