Question

设函数f(x)=x㏑x+4

若当x≥1时，恒有f(x)≤ax^2-ax+4,其中a∈R,求a的取值范围。

Answer 1

f(x)≤ax^2-ax+4,

ax^2-ax+4-f(x)≥0

ax^2-ax+4-（x㏑x+4）≥0

ax^2-ax-x㏑x≥0

因为x≥1

所以不等式消掉x，得ax-a-㏑x≥0

即ax-a≥㏑x

图形结合，令y1=ax-a；y2=lnx；两者相较于（1,0）

要使ax-a≥㏑x恒成立，y1必须为y2切线。

x=1时，Y2的斜率为1/x=1，所以a只能取1 ；

所以，如图x≥1时，a≥1，即能使式子恒成立。

追问

为什么不能孤立a，使a≥㏑x／﹙x－1﹚，再求最大值？

追答

从理论上来说，那样是可以的。但是，不知道你有没有发现，要求㏑x／﹙x－1﹚的最大值并不简单。

Answer 2

化简得x≥1时，㏑x≤ax-a
又x=1时等号成立
又lnx导数为1/x，在1处导数为1，其他地方均小于1
则只要a>=1即可

Answer 3

令t(x)=ax^2-ax+4-f(x)=ax^2-ax-xlnx
t(1)=0
证明t(x)递增。
求导，可能需要球二阶的。