Question

在数列｛an｝中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+...+an=（2^n）-1，求a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2的值

Answer 1

Sn=2^n-1 ，a1=2^1-1=1
S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2^n(1-1/2)=2^(n-1)，n≥2
当n=1时，a1=1，满足
∴an=2^(n-1)
an^2=2^(2n-2)=4^(n-1) 等比数列，首相1，公比4
Tn=a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2
=1*(1-4^n)/(1-4)
=（4^n-1）/3

Answer 2

因为$S_n=2^n-1$
$=> a_n=S_n-S_{n-1}=2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$
\newline
故$\sum_{i=1}^{n} {a_i}^2=\sum_{i=1}^{n} (2^{n-1})^2=\sum_{i=1}^{n} 4^{n-1} $
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$={4^n -1}/3$
\newline 上述标记为51Math无忧数学网专用数学公式法，详见51Math无忧数学网。
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