Question

方程x=sqrt(x+1)+sqrt(x+2)+sqrt(x+3)+sqrt(x+4)的解是代数数吗?其中,sqrt是开平方根方的意思.

Answer 1

方程可去掉根号，化为多项式方程，因此X是代数数：
令x+2=t^2 ,x=t^2-2
t^2-2=√(t^2-1)+t+√(t^2+1)+√(t^2+2)
t^2-t-2-√(t^2+2)=√(t^2-1)+√(t^2+1)，两边平方得：
a^2-2a√(t^2+2)+(t^2+2)=2t^2+2√(t^4-1), a=t^2-t-2
b=a√(t^2+2)+√(t^4-1), b=(a^2+2-t^2)/2
两边再平方得：
b^2=a^2(t^2+2)+(t^4-1)+2a√(t^2+2)(t^4-1)
c=2a√(t^2+2)(t^4-1), c=b^2-a^2(t^2+2)-(t^4-1)
两边再平方即最终去掉平方根号了：
c^2=4a^2(t^2+2)(t^4-1),

追问

谢谢了! 那么,普遍的方程:g1(x)*(f1(x)^m1)+g2(x)*(f2(x)^m2)+...gn(x)*(fn(x)^mn)=0,其中,f1(x),f2(x),...fn(x),g1(x),g2(x),...,gn(x)是系数为有理数的多项式,m1,m2,..,mn是有理数, 如果有实数解,一定是代数数吗?

追答

这个我倒是不好证出。

追问

但是,答案是代数数吗?还是到现在还没有解决?

追答

这个我倒是没有深入研究过。但应该不一定是代数数。因为容易证明即使是多个二次根式相加（如7个），也不能通过移项，平方等这些方法消去根号。这可以从无论等号两边怎么安排根式，平方后产生的根式总数都不会减少而得到结论。

Answer 2

如果有解，应该是代数数。因为解不可能是三角函数、对数、指数等超越数。不过我可解不来！

Answer 3

是代代数 因为你 通过移项 平方 最后整理成一个关于x的多项式

Answer 4

是代数，不过计算比较麻烦