Question

上海高考数学理2011内容大纲

Answer 1

现行新课标高中数学课本(人教A版)
　　
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数学 必修1
　　
1. 集合

　　（约4课时）
　　（1）集合的含义与表示
　　①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系。
　　②能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
　　（2）集合间的基本关系
　　①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
　　②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
　　（3）集合的基本运算
　　①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。
　　②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。
　　③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。
　　
2. 函数概念与基本初等函数I

　　（约32课时）
　　（1）函数
　　①进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。
　　②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。
　　③了解简单的分段函数，并能简单应用。
　　④通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义。
　　⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。
　　（2）指数函数
　　①（细胞的分裂，考古中所用的C的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景。
　　②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。
　　③理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点。
　　④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型（参见例2）。
　　（3）对数函数
　　①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的产生历史以及对简化运算的作用。
　　②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。
　　③知道指数函数 与对数函数 互为反函数（a＞0，a≠1）。
　　（4）幂函数
　　通过实例，了解幂函数的概念；结合函数 的图象，了解它们的变化情况。
　　（5）函数与方程
　　①结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
　　②根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
　　（6）函数模型及其应用
　　①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义。
　　②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
　　（7）实习作业
　　根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生活中的函数实例，采取小组合作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级中进行交流。具体要求参见数学文化的要求。
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数学 必修2
　　
1. 立体几何初步

　　（约18课时）
　　（1）空间几何体
　　①利用实物模型、计算机软件观察大量空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构。
　　②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如纸板）制作模型，会用斜二侧法画出它们的直观图。
　　③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式。
　　④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等不作严格要求）。
　　⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）。
　　（2）点、线、面之间的位置关系
　　①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理。
　　◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
　　◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
　　◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
　　◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
　　◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
　　②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。
　　操作确认，归纳出以下判定定理。
　　◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
　　◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
　　◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
　　◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
　　操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。
　　◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。
　　◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。
　　◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
　　◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
　　③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
　　
2. 平面解析几何初步

　　（约18课时）
　　（1）直线与方程
　　①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
　　②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
　　③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
　　④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
　　⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
　　⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
　　（2）圆与方程
　　①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
　　②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
　　③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
　　（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
　　（4）空间直角坐标系
　　①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
　　②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式。
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数学 必修3
　　
1. 算法初步

　　（约12课时）
　　（1）算法的含义、程序框图
　　①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
　　②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。
　　（2）基本算法语句：经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
　　（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献。
　　
2. 统计

　　（约16课时）
　　（1）随机抽样
　　①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
　　②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。
　　③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。
　　④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
　　（2）用样本估计总体
　　①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图（参见例1），体会它们各自的特点。
　　②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。
　　③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
　　④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。
　　⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题；能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
　　⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
　　（3）变量的相关性
　　①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。
　　②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（参见例2）。
　　
3. 概率

　　（约8课时）
　　（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
　　（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
　　（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
　　（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
　　（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
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数学 必修4
　　
1. 三角函数

　　（约16课时）
　　（1）任意角、弧度
　　了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。
　　（2）三角函数
　　①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
　　②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ 的正弦、余弦、正切），能画出 的图象，了解三角函数的周期性。
　　③借助图象理解正弦函数、余弦函数在 ，正切函数在 上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
　　④理解同角三角函数的基本关系式：
　　⑤结合具体实例，了解 的实际意义；能借助计算器或计算机画出 的图象，观察参数A，ω， 对函数图象变化的影响。
　　⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
　　
2. 平面向量

　　（约12课时）
　　（1）平面向量的实际背景及基本概念
　　通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
　　（2）向量的线性运算
　　①掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
　　②掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义。
　　③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
　　（3）平面向量的基本定理及坐标表示
　　①了解平面向量的基本定理及其意义。
　　②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
　　③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
　　④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
　　（4）平面向量的数量积
　　①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义。
　　②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
　　③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
　　④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。
　　（5）向量的应用
　　经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力。
　　
3. 三角恒等变换

　　（约8课时）
　　（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
　　（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
　　（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
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数学 必修5
　　
1. 解三角形

　　（约8课时）
　　（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
　　（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
　　
2. 数列

　　（约12课时）
　　（1）数列的概念和简单表示法
　　了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊函数。
　　（2）等差数列、等比数列
　　①理解等差数列、等比数列的概念。
　　②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。
　　③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）。
　　④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
　　
3. 不等式

　　（约16课时）
　　（1）不等关系
　　感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景。
　　（2）一元二次不等式
　　①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
　　②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系。
　　③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图。
　　（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
　　①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
　　②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组（参见例2）。
　　③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决（参见例3）。
　　（4）基本不等式： 。
　　①探索并了解基本不等式的证明过程。
　　②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。
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数学 选修
　　
　　
选修2－1

　　1. 常用逻辑用语（约8课时）
　　（1）命题及其关系
　　①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
　　②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命题的相互关系。
　　（2）简单的逻辑联结词
　　了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
　　（3）全称量词与存在量词
　　①理解全称量词与存在量词的意义。
　　②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
　　2. 圆锥曲线与方程（约16课时）
　　（1）圆锥曲线
　　①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
　　②经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
　　③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质。
　　④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
　　⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
　　（2）曲线与方程
　　了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想。
　　3. 空间向量与立体几何（约12课时）
　　（1）空间向量及其运算
　　①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
　　②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
　　③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
　　④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。
　　（2）空间向量的应用
　　①理解直线的方向向量与平面的法向量。
　　②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
　　③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
　　④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。
　　参考案例
　　例1. 已知直三棱柱 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°， ，M是棱 的中点。 证明： 。
　　例2. 已知矩形ABCD和矩形ADEF垂直，以AD为公共边，但它们不在同一平面上。点M，N分别在对角线BD，AE上，且 。
　　证明：MN∥平面CDE。
　　例3. 已知单位正方体 ，E、F分别是棱 和 的中点。试求：
　　（1） 与EF所成的角；（2）AF与平面 所成的角；（3）二面角 的大小。
　　
　　
选修2－2

　　
　　1. 导数及其应用（约24课时）
　　（1）导数概念及其几何意义
　　①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。
　　②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
　　（2）导数的运算
　　①能根据导数定义求函数 的导数。
　　②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如 ）的导数。
　　③会使用导数公式表。
　　（3）导数在研究函数中的应用
　　①借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系（参见选修1－1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间。
　　②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。
　　（4）生活中的优化问题举例。
　　例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用（参见选修1－1案例中的例5）。
　　（5）定积分与微积分基本定理
　　①通过求曲边梯形的面积、变力做功等，从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念。
　　②通过变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系，直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）。
　　2. 推理与证明（约8课时）
　　（1）合情推理与演绎推理
　　①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用（参见选修1－2案例中的例2、例3）。
　　②体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
　　③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。
　　（2）直接证明与间接证明
　　①了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
　　②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。
　　（3）数学归纳法
　　了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
　　（4）数学文化
　　①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
　　②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
　　3. 数系的扩充与复数的引入（约4课时）
　　（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
　　（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
　　（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
　　（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。。
　　参考案例
　　例1.一个物体依照 规律在直线上运动，我们已经知道，其在某一时刻 的运动速度 （即瞬时速度或瞬时变化率）为 在 时刻的导数，即 。今考虑 在到之间位置的总变化。我们把区间 分割成n个小区间，不妨假设小区间的长度相等，其长度为。对每一个小区间，我们假设的变化率近似为某一常量，于是我们可以说
　　的变化率×时间。
　　在第一个小区间内，即从 到 ，假设 的变化率近似地为 ，于是有
　　同样，对第二个小区间，即从 到 ，假设 的变化率近似地为 ，因此有
　　等等。把在所有小区间上得到的位置变化近似值全部加在一起，得到
　　s的总变化
　　我们可以把 在 到 之间位置的总变化写成 。另一方面，当分割无限加细、n趋于无穷时，和式
　　的极限就是定积分 或 ，也就是 在 到 之间位置的总变化。于是，我们可得到以下结论：
　　也就是说，变化率的定积分给出了总的变化。
　　特别地，当物体作匀速运动时，即 时，
　　当物体作匀加速运动时，即 （其中 是常数）时，
　　一般地，如果 是连续函数，并且 ，那么
　　这就是微积分基本定理。这里给出的并不是非常严格的证明，但是，它反映了微积分基本定理的基本思想，反映了微分（导数）与积分的联系。
　　
选修2－3

　　
　　1. 计数原理（约14课时）
　　（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理
　　总结分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。
　　（2）排列与组合
　　理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。
　　（3）二项式定理
　　能用计数原理证明二项式定理（参见例1）；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。
　　2. 统计与概率（约22课时）
　　（1）概率
　　①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。
　　②通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（参见例2）。
　　③在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（参见例3）。
　　④理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题（参见例4）。
　　⑤借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。
　　（2）统计案例
　　①通过对 “肺癌与吸烟有关吗”的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
　　②通过对 “质量控制”“新药是否有效”的探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用（参见选修1－2案例中的例1）。
　　③通过对 “昆虫分类”的探究，了解聚类分析的基本思想、方法及其初步应用。
　　④通过对 “人的体重与身高的关系”的探究，了解回归的基本思想、方法及其初步应用。