Question

2011年北京中考数学第22题

阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O．若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形的面积．
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折，旋转，平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD+BC的长度为三边长的三角形（如图2）．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF．
（1）在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；
（2）若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于？

第二问给出详细过程谢谢

Answer 1

解：

（1）△BEG是以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形

过点E作EG∥AD,过点D作DG∥AE交EG于G，连接FE,

     ∵  EG∥AD  ，DG∥AE

∴ 四边形ADGE是平行四边形

∴  EG=AD  ，DG=AE=EC

又∵ EF是△ABC的中位线

∴EF∥BD  且  EF=BD

而DG∥EC   且  DG= EC

∴△BDG可看成是又△FEC平移而成

∴△BDG≌△FEC

∴BG=FC

∴△BEG是以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形

（2）∵AD，BE，CF是△ABC的中线

 ∴S△EFC=0.5 ×S△AEC=0。25 ×S△ABC=0。25

  而  △BDG≌△FEC

  

∴S△BDG= S△FEC =0。25

不难证明 ：S△EDG= S△AED=0。25 ；   S△BDE =S△BEF=0。25

∴S△BGE=3×0。25=0。75

Answer 2

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