Question

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°。过点C作圆的切线L与直径AD的延长线交与点E,AF⊥L，AF⊥L，垂足为F，CG

如图，△ABC内接于⊙O，且∠B=60°。过点C作圆的切线L与直径AD的延长线交与点E,AF⊥L，AF⊥L，垂足为F，CG⊥AD，垂足为G
若AF=四倍根号三，求图中阴影部分的面积
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解得越详细越好

Answer 1

此题看似复杂。实则简单，解题思想：将整体化为局部再解决局部

解：作AG⊥BC于G，
由题意得，AF=CG=3/4 BC=4√3
∴BC=16√3/3 ，CO=8√3/3
又∠B=60°，BC为⊙O直径
∴∠BCA=30°，∴∠ACF=60°
∴CF=AF/√3=4
设CE=x
则有CE/CO=EF/AF
∴x/CO=（x+4）/AF
解得x=8，即CE=8
∴S阴影=4√3×（4+8）×1/2－π（8√3/3）² × （60/360）－（8√3/3+4√3）×4×1/2
=32√3/3－32π/9

（一些细节可省略不写，考试也一样。那个细节不懂再问咯）

Answer 2

两直径焦点为圆心，AE与BC焦点为圆心O
AO=AB=BO
因为L切元于C，故BC垂直于L，BC垂直于EF，角COE=角B=60度（因为AO=AB=BO）
因为AF垂直于L，所以三角型AFE相似于三角形OCE
角FAE=60度，AE=8倍根号三
半径R/四倍根号三=（R+ET）/八倍根号三
R= ET
3R=八倍根号三
阴影面积=三角型OCE面积减去六分之一圆O面积
=0.5CG*OE-0.5*π*R的平方
剩下的你自己算吧，不好打数字

Answer 3

（1）证明：如图，连接CD，OC，则∠ADC=∠B=60°．
∵AC⊥CD，CG⊥AD，
∴∠ACG=∠ADC=60°．
由于∠ODC=60°，OC=OD，
∴△OCD为正三角形，得∠DCO=60°．
由OC⊥l，得∠ECD=30°，
∴∠ECG=30°+30°=60°．
进而∠ACF=180°-2×60°=60°，
∴△ACF≌△ACG．

（2）解：在Rt△ACF中，∠ACF=60°，AF=4
3
，得CF=4．
在Rt△OCG中，∠COG=60°，CG=CF=4，得OC=
8
3
．
在Rt△CEO中，OE=
16
3
=
16
3
3
．
于是S阴影=S△CEO-S扇形COD=
1
2
OE•CG-
60π•OC2
360
=
32(3
3
-π)
9
．

Answer 4

我靠，太简单了。。。首先BC经过圆心O，所以角BAC是直角，又角B是60度，所以角BCA是30度，因为OC=OA，所以角OAC=30度，所以角ACG是60度，所以角BCG也是30度，因为BC垂直于EF，所以BCE是90度，所以GCE是60度，已证ACG是60度，故FCA也是60度。所以图中几个直角三角形均为90、60、30的特殊三角形。所以GF=根号三GC，而AG=GF=1/2AF=二倍根号三，所以AC=2GC=根号三分之二GF=4，GC=2，半径=根号三分之四。会求了吧？