Question

四棱锥P－ABCD的底面是边长为a的菱形，PC⊥底面ABCD，且PC＝a，E是PA的中点，∠ABC＝60°

（1）.求证：平面EDB⊥平面ABCD；
（2）.求点E到平面PBC的距离；
（3）.求二面角A-BE-D的平面角的正切值

Answer 1

(1)证明：连结AC,BD,设交于点O，连结EO

ABCD为菱形，故AC⊥BD，且O为AC,BD的中点

又E为PA的中点

故EO//PC

而PC⊥平面ABCD

故EO⊥平面ABCD

EO∈平面EDB

故平面EDB⊥平面ABCD

(2)用体积法求距离，设距离为h，则：

VE-PBC=S三角形PBC*h/3=(a*a/2*h)/3= a^2h/6

=VP-ABC-VE-ABC

=S三角形ABC*PC/3-S三角形ABC*EO/3

=S三角形ABC（PC-EO)/3

=[1/2*a*a*sin60*(a-a/2)]/3

=√3a^3/24

a^2h/6=√3a^3/24

h=√3a/4

(3)过点A作AF⊥BE，连结OF

AC⊥BE

AC∩AF=A

BE⊥平面AOF

OF∈平面AOF内

故BE⊥OF

即二面角AFO即为所求的平面角

又AC⊥平面BED，OF∈平面BED内

故AC⊥OF

AB=a,OA=a/2,OB=√3a/2

EO=a/2,BE=a

EO/OF=BE/OB

OF=√3a/4

tan∠AFO=OA/OF

=(a/2)/(√3a/4)

=2√3/3

Answer 2

1 连接AC交BD于O，EO平行且等于1/2PC，OE⊥面ABCD。。所以平面EDB⊥平面ABCD
2 作OF⊥BC，，EO平行平面PBC, 所以of为所求距离
由底面平面图形可知，，OF＝(根号3)/4 a
3 作OG⊥EB，角OGA为所求角
易得OE=a/2 OB= (根号3)/2 a 所以BE＝a
所以OG＝(根号3)/4 a ，OA=a/2
所以正切为 8(根号3）/3