Question

线性代数题求助

求矩阵特征值和特征向量
1 2 3
2 1 3
3 3 6

Answer 1

解: |A-λE| =
1-λ 2 3
2 1-λ 3
3 3 6-λ

r1-r2
-1-λ 1+λ 0
2 1-λ 3
3 3 6-λ

c2+c1
-1-λ 0 0
2 3-λ 3
3 6 6-λ
= (-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]
= (-1-λ)[λ^2-9λ]
= λ(9-λ)(1+λ)

所以A的特征值为 0, 9, -1

AX = 0 的基础解系为: a1 = (1,1,-1)'
所以,A的属于特征值0的全部特征向量为: c1(1,1,-1)', c1为非零常数.

(A-9E)X = 0 的基础解系为: a2 = (1,1,2)'
所以,A的属于特征值9的全部特征向量为: c2(1,1,2)', c2为非零常数.

(A+E)X = 0 的基础解系为: a3 = (1,-1,0)'
所以,A的属于特征值-1的全部特征向量为: c3(1,-1,0)', c3为非零常数.

追问

(-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18]是直接得到的的吗？最后一个的基础解系 a3 = (1,-1,0)'是怎么解的

追答

(-1-λ)[(3-λ)(6-λ)-18] 是经2次变换后, 可直接对角线法则得到.

最后一个的基础解系:
A+E =
2 2 3
2 2 3
3 3 7

r2-r1, r1*(1/2), r3-3r1
1 1 3/2
0 0 0
0 0 7-3(3/2)
-->
1 1 0
0 0 1
0 0 0
自由未知量 x2 = -1 得基础解系 (1,-1,0)'

满意请采纳^_^

Answer 2

改过了，看图~