Question

x→0时，x+[根号下(1+x^2)]-1的等价无穷小为什么为x

目前知道[根号下(1+x^2)]-1的等价无穷小为1/2乘x^2 求解

Answer 1

x→0时,

令y=x+[√(1+x²)-1]

则lim(x→0) [y/x]
=lim(x→0) [x+[√(1+x²)-1]] / x
=lim(x→0) [1+[√(1+x²)-1]/x]
=1+lim(x→0) [√(1+x²)-1]/x
=1+lim(x→0) [0.5x²]/x
=1+lim(x→0) [0.5x]
=1+0
=1

由等价无穷小的定义，
若lim(x→0) [y/x]=1
则y与x为等价无穷小

追问

如果事先不知道等于x呢？

追答

等价无穷小，一般只可以对乘积因子代换，可以看其他的因子来判断等价无穷小的形式
而且x+√(x^2+1)-1既然看成了x+0.5x^2
而x^2是x的高阶无穷小,所以，0.5x^2可以表示为o(x)
则
x+√(x^2+1)-1
~x+0.5x^2
=x+o(x)
~x