Question

宇航员登上一半径为R的星球的表面,为测定该星球的质量,他用长细线一端拴一小球，

另一端固定于O点，让其在水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆运动），如图所示。若测得O点到圆面距离为h，圆锥摆的周期为T，已知万有引力常量为G。请导出：
1）该星球表面重力加速度g的表达式
2）该星球质量M的表达式

Answer 1

1）对小球分析：受重力mg、绳子拉力F，两个力的合力是水平的，提供为向心力。
设偏离竖直方向的角度为θ，则　F向＝mg*tanθ
即　mg*tanθ＝mω^2*r＝m*(2π / T)^2* (h*tanθ)
得重力加速度是　g＝(2π / T)^2*h
2）由黄金代换关系　GM＝g R^2　得
星球质量是　M＝g R^2 / G＝(2π / T)^2*h*R^2 / G＝h*(2πR / T)^2 / G