Question

几何证明题求大神赐教！！

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA垂直面ABCD，PD平行MA,E,G,F分别为MB,PB,PC中点，且AD=PD=2MA。求证面EFG垂直面PDC（少标个B，你们懂的- -）

Answer 1

此题如果只是证明面EFG垂直面PDC那AD=PD=2MA的条件就是多余了。
证明：
∵MA垂直于正方形ABCD平面，而PD平行MA
∴PD垂直于正方形ABCD平面。
则PD⊥DC、PD⊥BC
∴PDC平面垂直于正方形ABCD平面
又∵BC⊥DC
∴BC垂直于PDC平面
又∵G,F分别为PB,PC中点
∴GF∥BC
∴GF垂直于PDC平面
∴EFG垂直面PDC
（证明定理我想不用我来标注吧）

Answer 2

解；因为PD=AB ABCD是正方形

所以PD=AB=BC=CD=DA

连接PC PC在平面PBC内

因为PD=DC

所以PC与DC的夹角为45度

设一点A1 使A1A=PD=DC=CB=BA=AD且A1A垂直ABCD

连接A1A A1B A1P

因为A1A=A1B=PD=DC且PD与A1A都垂直与ABCD

所以PC=A1B

连接DB AC

因为ABCD是正方形

所以DB=AC

因为DB=AC PD=A1A且PD与A1A都垂直ABCD

又因为DC=CB=AC

所以DB=AC

又因为DB=AC PD=A1A

所以BP=A1C

又因为PC=A1B PA1=BC PB=A1C

所以PA1BC是矩形

因为PA1BC是矩形，点E是PB的中点

所以PE=BE=A1E=EC

即点E是平面A1BCP的中心点

在PC上设点E1 A1B上设点E2

连接E1E2

使E1E2过点E且垂直于PC和A1B

因为点E是A1C与PB的中点

且垂直E1E2过点E 、且垂直与PC和A1B

所以E1E=E2E=二分之一BC=二分之一DA

连接E1D

因为PD=DC且角CPD=角PCD

所以E1C=E1P

E1P垂直于平面PA1BC

在AD直线上设点X 连接EX

使XE垂直平面PA1BC

EX=DE1 E1E=DX

因为EX=DE1 E1E=DX 且DX=AX

且点X在AD直线上

XE垂直平面PA1BC

因为PA1BC与PBC是同一平面

所以XE垂直于平面PBC

且X在PAD平面内

即点X就是所求的点F
故EF垂直平面PBC，且EF属于面EFG，故EFG垂直于面PBC
故面EFG垂直面PDC