Question

已知函数f(x)=ax^3+(a-2)x^2+1/3x在(0,2)内有两个不同的极值点，求实数a的取值范围

已知函数f(x)=ax^3+(a-2)x^2+1/3x在(0,2)内有两个不同的极值点，求实数a的取值范围

Answer 1

等同于f'(x)=3ax^2+2(a-2)x+1/3在(0,2)内两个不同的零点。
首先，a<>0, 然后，判别式=[2(a-2)]^2-4*3a*1/3=4a^2-16a+8>0 =>a>2+根号2, a<2-根号2
此外，f‘(0)=1/3，f’(2)=8a-4+1/3
当a>2+根号2时，f'(2)>0 =>此时两根在(0,2)内。
当a<2-根号2时，f'(2)<0 =>此时只有一个根在(0,2)内。
=>a>2+根号2