Question

y=f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的实数，都有f(x+1)=f(x-1)成立。当x∈[1.2]时，f(x)=log a x

1.x∈[2k-1,2k+1]k∈z,f(x)的表达式
2.若函数y=f(x)的最大值为1/2，在区间[-1,3]上解关于x的不等式f(x)>1/4

Answer 1

解：
(1)
当x∈[2k－1，2k]时，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2＋x－2k)
同理，当x∈(2k，2k＋1]时，f(x)＝f(x－2k)＝loga(2－x＋2k)
∴f(x)＝[分段函数]
{loga(2＋x－2k)，x∈[2k－1，2k]
{loga(2－x＋2k)，x∈(2k，2k＋1]

(2)
由于函数是以2为周期的周期函数，故只需要考查区间[－1，1]
当a＞1时，由函数f(x)的最大值为1/2，知f(0)＝f(x)max＝loga 2＝1/2，即a＝4
当0＜a＜1时，则当x＝±1时，函数f(x)取最大值为1/2，即loga(2－1)＝1/2，舍去
综上所述：a＝4
当x∈[－1，1]时，
若x∈[－1，0]，则log4(2＋x)＞1/4
∴√2－2＜x≤0
若x∈(0，1]时，则log4(2－x)＞1/4
∴0＜x＜2－√2
∴此时满足不等式的解集为(√2－2，2－√2)
∵函数是以2为周期的周期函数
∴在区间[－1，3]上，f(x)＞1/4的解集为(√2，4－√2)

综上，所得不等式的解集为：(√2－2，2－√2)∪(√2，4－√2)

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