Question

设﹛an﹜是由正整数组成的等比数列,公比q=2,且a1a2a3…a20=2^30,那么a3a6a9…a30是多少 （解释一下）

Answer 1

正数吧...
a(n)>0.
a(n)=a*2^(n-1), a>0.
2^30=a(1)a(2)...a(20)=a^(20)*2^[1+2+...+19]=a^(20)*2^(190),
a^(20)=1/2^(160)=[1/2^(80)]^2,
a^(10)=1/2^(80)
a(3)a(6)...a(30)=a^(10)*2^[3*1-1 + 3*2-1+...+3*10-1]=a^(10)*2^[3*11*5-10]
=2^[165-10 - 80]=2^(75)

Answer 2

a1>=1
a1a2a3…a20>=a1^20*q^(1+2+...+19)>2^20
所以上式根本不可能。
假如可能，利用上式可以求出a1，
a3a6a9…a30=a1^10*q(2+5+...+29)=a1^10*2^165即可求出结果。

Answer 3

a1a2..a20=2^30----> a1q^(0+1+..+20)=a1q^(20*21/2)=a1q^210=2^30-->a1=2^(30-210)=2^(-180)
a3a6a9...a30=a1q^(2+5+8+...+29)=a1q^[(2+29)*10/2]=a1q^155=2^(-180+155))=2^(-25)