Question

解一道数学题，题目如下

已知：二次函数y=x^－（m+1）x+m的图像交x轴于A(x1,0),B(x2,0)两,点，交y轴正半轴于点C,且x1^+x2^=10.
1,求次函数的解析式（这题我会，答案是y=x^-4x+3)
2,是否存在过点D（0，-5/2）的直线于抛物线交于点M,N,与x轴交于点E，使得点M，N关于点E对称?若存在，求直线MN的解析式，若不存在，请说明理由（就是这一题，让我的思路有点混淆，到底怎么联系开来，求详细解题过程。有悬赏~）

Answer 1

1、原解析式y=x²-(m+1)x+m=(x-1)(x-m)，交x轴，则y=0，所以得到x1、x2一个是1，另一个是
m，由x1^2+x2^2=10，可得1+m^2=10，m=3或-3，交y轴正半轴于点C 说明m>0 所以原函数为y=x²-4x+3
2、设存在E点为(a,0)，则过DE的直线方程为：y=2/(5a)x-2/5，与抛物线的交点
y=2/(5a)x-2/5
y=x²-4x+3
因为关于点E(a，0)（a>0）对称，由图像可知，两个交点的坐标y1+y2=0，x1+x2=2a，上面方程组写成关于x和y的两个方程
x²-[4+2/(5a)]x+17/5=0
25a²y²/4+(5a²-10a-1)y+（a^2-4a+3)=0

由x1+x2=2a和y1+y2=0，均得到4+2/(5a)=2a，解得a=1±√(6/5)，a>0 故a=1+√(6/5)，
所以E点坐标为(1+√(6/5)，0)
存在这样的E点 使得点M，N关于点E对称
直线MN的解析式为：y=2/(5+√30)x-2/5 即：y=2（√30 -5）/5 x-2/5

追问

像第二小题这种类型的题目，该形成怎样的思路去解题呢？

追答

关于E点的对称 然后就是找与这个对称点的各种关系 如对称 则有对称两点之间的坐标关系 如题中的x1x2和y1y2之间的关系。再在直线与另外的线（抛物线或椭圆） 的交点 的求解 如题中的关于x和y的两个方程 两个方程的分别的根之间的和、积的表达式 就是x1x2和y1y2之间的关系 又回到了对称的上面来啦

这种题目多做点 做不出来的时候看下答案 过段时间 在把这个题目拿出来看看 在做下

这是我自己曾经的做法 不知道对你有没有帮助

追问

我看了一下答案，你做的第一题正确，但是第二题有点不对。它的答案是直线MN的解析式为：y=x-5/2.点D的坐标为（0，-5/2）不过还是很感谢你的回答

追答

我知道错在那里啦 是我复制第一个人的答案 他的是错的

2、设存在E点为(a,0)，则过DE的直线方程为：y=2/(5a)x-2/5，与抛物线的交点
y=2/5ax-2/5
y=x²-4x+3
因为关于点E(a，0)（a>0）对称，由图像可知，两个交点的坐标y1+y2=0，x1+x2=2a，上面方程组写成关于x个方程
x²-4+2/5ax+17/5=0
由x1+x2=2a得到4+2/5a=2a，解得a=5/2，
所以E点坐标为(5/2，0)
存在这样的E点 使得点M，N关于点E对称
直线MN的解析式为：y=x-5/2

Answer 2

1、原解析式y=x²-(m+1)x+m=(x-1)(x-m)，交x轴，则y=0，所以得到x1、x2一个是1，另一个是
m，由x1+x2=10，可得1+m=10，m=9，所以原函数为y=x²-10x+9
2、设存在E点为(a,0)，则过DE的直线方程为：y=2/(5a)x-2/5，与抛物线的交点：
y=2/(5a)x-2/5
y=x²-10x+9
因为关于点E(a，0)对称，由图像可知，两个交点的坐标y1+y2=0，x1+x2=2a（思路），上面方程组写成关于x和y的两个方程：
x²-[10+2/(5a)]x+47/5=0
25a²y²/4+(5a²-25a-1)y-(9a-9)=0
由x1+x2=2a和y1+y2=0，均得到10+2/(5a)=2a，解得a=5/2±√(129/20)，其中5/2-√(129/20)不合题意，舍去，所以E点坐标为(5/2±√(129/20)，0)

Answer 3

1、原解析式y=x²-(m+1)x+m=(x-1)(x-m)，交x轴，则y=0，所以得到x1、x2一个是1，另一个是
m，由x1+x2=10，可得1+m=10，m=9，所以原函数为y=x²-10x+9