Question

高中数学f(x)是偶函数,f(x+1)为奇函数怎么求其正周期?

Answer 1

由题意，可得两个式子，1：f(x)=f(-x)；2：f(x+1)=-f(-x+1)。由这两个式子，反复使用，即可得。具体步骤：2式让x取x-1，得f(x)=-f(-x+2）；1式让x取2-x得-f(-x+2)=-f(x-2)；2式让x取x-3得-f(x-2)=f(-x+4)；1式让x取-x+4得f(-x+4)=f(x-4)。可得f(x)=f(x-4)。周期求出！

Answer 2

f(x) 是偶函数,则有f(x) = f(-x)
f(x) = f(-x) = f(-(x+1) + 1)
f(x+1)为奇函数,则有
f(-(x+1) + 1) = -f(x+1 + 1) = f(x + 2)
也就是
f(x) = f(x+2)
所以其正周期为 2

追问

有人说周期是4不是2，谁对？
（1），由题知，f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)
∴f(-x+1)=f(x-1)=-f(x+1)=-f[(x+2)-1]=-f[-(x+2)+1]=f[(x+2)+1]=f(x+3)
即f(x-1)=f(x+3)
∴f(x)的周期为4,
（2），f(x) 是偶函数,则有f(x) = f(-x)
f(x) = f(-x) = f(-(x+1) + 1)
f(x+1)为奇函数,则有
f(-(x+1) + 1) = -f(x+1 + 1) = f(x + 2)
也就是
f(x) = f(x+2)
所以其正周期为 2

追答

最小正周期是2
4是2的倍数当然也是一个周期了
f(x+4) = f(x+2+2) = f(x+2)=f(x)
4是一个周期,但是不是最小正周期
最小正周期是2