Question

已知f(x)=ax^3+bx^2+cx+d为奇函数，且在点（2 f(2) )处得切线方程为9x-y-16=o,则 f(x)的解析式？

写清解答过程

Answer 1

解因为f(x)=ax^3+bx^2+cx+d为奇函数所以f（-x）=a(-x)^3+b(-x)^2+c(-x)+d=-f(x)=-(ax^3+bx^2+cx+d),当对任何x都成立时，得到b=0，d=0，所以方程
f(x)=ax^3+cx，所以f‘（x）=3ax^2+c所以在x=2时的切线的斜率=12a+c=9，在点（2，f(2))点为
（2,8a+2c）是方程9x-y-16=o上的点，所以9*2-（8a+2c）-16=0，联立方程解得a=1，c=-3
所以f(x)=x^3-3x

Answer 2

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d为奇函数
f(-x)=-ax^3+bx^2-cx+d=-(ax^3+bx^2+cx+d)
b=d=0
f(x)=ax^3+cx
f'(x)=3ax^2+c
在点（2 f(2) ),f'(2)=12a+c,f(2)=8a+c
其切线方程为：y-f(2)=f'(2)(x-2)
即y-(8a+c)=(12a+c)(x-2)=(12a+c)x-2(12a+c)
(12a+c)x-2(12a+c)-y+(8a+c)=0=9x-y-16
比较系数得
12a+c=9
-2(12a+c)+(8a+c)=-16
a=-7/4,c=30
所以f(x)=-7/4x^3+30x

Answer 3

切线方程 就是它的一阶导数，求导，将2f（2）代入，根据恒等式原理和它是奇函数就可以确定了