Question

已知单调递增的等比数列 an满足，a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4a的等差中项

1.求an的通项公式 2.若b=anlog1/2(an).sn=b1+b2+…+bn,对任意正整数n，sn+(n+m)a(n+1)<0恒成立。试求m的取值范围

Answer 1

解：
1.
a2+a3+a4=28
a2+a4=28-a3
2(a3+2)=a2+a4=28-a3
3a3=24
a3=8
a2q=8
q=8/a2
a2+a4=a2+a2q²=a2+8q=20
a2+64/a2=20
整理，得
a2²-20a2+64=0
(a2-16)(a2-4)=0
a2=16(>a3，与已知等比数列单调递增矛盾，舍去)或a2=4
q=a3/a2=8/4=2
a1=a2/q=4/2=2
数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。
an=2×2^(n-1)=2^n
数列{an}的通项公式为an=2^n
2.
bn=anlog(1/2)an=2^nlog(1/2)[(1/2)^(-n)]=-n×2^n
Sn=-1×2^1-2×2^2-...-n×2^n
2Sn=-1×2^2-2×2^3-...-(n-1)×2^n-n×2^(n+1)
2Sn-Sn=Sn=2^1+2^2+2^3+...+2^n-n×2^(n+1)=2(2^n-1)/(2-1)-n×2^(n+1)=-2[(n-1)2^n+1]
Sn+(n+m)a(n+1)<0
-2[(n-1)2^n+1]+(n+m)2^(n+1)<0
整理，得
m<1/2^n+n-2
1/2^n+n-2单调递增， 要对于任意n，不等式恒成立，只需要当n最小时，不等式成立。n=1代入
m<1/2+1-2
m<-1/2

追问

答案是M<-1

Answer 2

为什么M<-1