Question

一道高一数学练习题（属于平面向量和正、余弦定理范围内）：

已知向量 OA→ ，OB→ ，OC→ 满足条件 OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ＝ 0 （零向量），
| OA→ | ＝ | OB→ | ＝ | OC→ | ＝ 1 ，求证 ： △ABC 是正三角形。（因为向量符号“→”无法标注在字母上方，只能紧跟字母写在后面，请朋友们理解，谢谢！）
求正规解题步骤。谢谢大家！

Answer 1

因为：| OA→ | ＝ | OB→ | ＝ | OC→ | ＝ 1
所以：A,B,C三点在以O为圆心的单位圆上。
再因为：OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ＝ 0
所以：以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线长度等于OB的长度，既为1
由余弦定理易得OA→ 和OB→夹角为120 °
同理：OA→ 和OC→夹角为120 °
OB→和OC→ 夹角也为120 °
故△ABC 是正三角形。

Answer 2

∵OA→ ＋ OB→ ＋ OC→ ＝ 0 （零向量）
∴ OA→ ＋ OB→ =- OC→
两边平方| OA |²+2 OA→*OB→+| OB |² ＝ | OC |²
即| OA |²+2| OA |*| OB |cos∠AOB+| OB |² ＝ | OC |²
∵| OA | ＝ | OB | ＝ | OC | ＝ 1
∴1+2*1*1cos∠AOB+1=1
∴cos∠AOB=-1/2 ∠AOB=120°
同理∠BOC=120 ∠AOC=120°
∴△AOB≌△BOC≌△COA
∴IABI=IBCI=ICAI
∴△ABC 是正三角形
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O

Answer 3

先说下思路，将OA→， OB→，OC→ 三个向量中的任意一个移到等式右边，利用向量的和，和向量共线的充要条件，两者结合可以得到0为三角形的内心（有个2:1的关系在），又| OA→ | ＝ | OB→ | ＝ | OC→ | ＝ 1 ，可知0为三角形的外心，外心和内心重合的三角形也只有等边三角形了

Answer 4

OA→ ＋ OB→=-OC→，因为| OA→ | ＝ | OB→ | ＝ 1，即：以OA,OB为临边组成的平行四边形AOBD（设OA→ ＋ OB→=OD）是一个菱形，又因为 OA=OB=OC=OD(模长），即：三角形OAD 是正三角形，角 ABD=60'，同理 ，角BOD =60‘，所以说 角AOB=120’，同理可以证明 角AOC BOC 均为120，由此可以证明结果成立