Question

急急急一道数学证明题

正三棱柱ABC-A1B2C3中，若AB1⊥BC1,D为AB的中点,(1)证明:AB1⊥平面A1DC(2)证明：平面A1B1C⊥平面A1DC（请用几何法）

Answer 1

证：（1）做A1B1的中点E，并连接EC1和EB，先证AB1⊥平面BEC1
∵EC1是△A1B1C1的中点，而且△A1B1C1为等边三角形（由题意正三棱柱可知这一点）
∴EC1⊥平面ABB1A1
又∵AB1包含于平面ABB1A1中
∴EC1⊥AB1
又∵AB1⊥BC1
∴AB1⊥平面BEC1
∵BE包含于平面BEC1
∴AB1⊥BE
∵平面ABB1A1为矩形，易证BE∥DA1
即AB1⊥DA1
由上面的证明可知，CD亦⊥平面ABB1A1
即DC⊥AB1
∵AB1⊥DA1
AB1⊥DC
DC与DA1相交于D点
CD和DA1都包含于平面A1DC
∴AB1⊥平面A1DC
（2）图略
将正三棱柱的各边长度均设为1
算出A1B1、B1C、A1C、DC、DA1的长度，然后分别做DF1和B1F2⊥A1C，F1和F2都在A1C上，只要根据勾股定理算出A1F1=A1F2就可证明F1和F2是同一个点F，再连接B1D，证明角DFB1为直角就可证明到题目所要求的内容