Question

设函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)>f(b)证明ab<1

Answer 1

f(a)>f(b) 即为|lga|>|lgb|
当1≤a<b时，不等式化为lga>lgb；但lgx为增函数，a<b时有lga<lgb，与不等式矛盾，结论不成立
当0<a<1≤b时，不等式化为-lga>lgb，即lga<-lgb=lg(1/b)，lgx为增函数，∴有a<1/b，即ab<1
当0<a<b≤1时，此时ab<1恒成立，不等式化为-lga>-lgb，即lga<lgb，由增函数有a<b，与假设相符
综上所述，上述结论不完全成立只有当a<1时才成立

举例：a=10，b=100时，符合上述题设条件，但ab=1000<1不成立

Answer 2

1) 若 0<a<b<1，则显然有ab<1
2) 若 0<a<1<=b，则 f(a)=|lga|=-lga，f(b)=|lgb|=lgb
由f(a)>f(b)得 -lga>lgb，lga+lgb<0，lg(ab)<0，所以 ab<1
3) 若 1<=a<b，则 f(a)=|lga|=lga，f(b)=|lgb|=lgb
因为 a<b，所以 f(a)<f(b)，与已知矛盾

综上可得，ab<1

Answer 3

证明：由题设f(a)＞f(b)，得|lga|＞|lgb|，则有(lga)2＞(lgb)2，
即(lga+lgb)(lga-lgb)＞0，
也就是lg(ab)lg(a/b)＞0.由已知b＞a＞0，
所以a/b＜1,即lg(a/b)＜0.所以lg(a/b)＜0，即ab＜1.
绿色通道：本题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题、解决问题的能力. 抓住并利用函数的性质从总体上分析问题.本题解决的关键在于将f(a)＞f(b)利用已知函数进行等价转换.

Answer 4

1. 0<a<b<1,ab<1
2. 0<a<1<b , f(a)=－lga=lg(1/a),f(b)=lgb, ∵f(a)>f(b) ∴f(a)－f(b)＞0∴lg(1/a)－lgb＞0＝lg1
∴lg(1/ab)＞lg1 又∵lgx 在（0，+∞）是单调增函数∴（1/ab）＞1∴ab<1
综上可知，ab<1