Question

高手解答！

设a,b,c是实数，求证，a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)

Answer 1

∵a^2*b^2=2*（ab）^2/2
同理可推得b^2c^2=2*（bc）^2/2
c^2a^2=2*（ac）^2/2

由均值定理变形可得：
[（ab）^2+（bc）^2]/2>ab^2c (1)
[（ac）^2+（bc）^2]/2>abc^2 (2)
[（ab）^2+（ac）^2]/2>a^2 bc (3)
(1)+(2)+(3)得：
∵a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 > ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
∴a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>abc(a+b+c)
得证

Answer 2

a^2b^2+b^2c^2 > 2abbc
b^2c^2+c^2a^2 > 2bcca
a^2b^2+c^2a^2 > 2abca
三式相加得证