Question

设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[-2,0]时,f(x)=2x-x^3

(1).求证：f(x)是周期函数
(2).当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式
(3).求f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2011)的值
错了错了，是当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x^3

Answer 1

因为 f(x+2)=-f(x)，所以 f(x+4) = -f(x+2)
所以 f(x) = f(x+4)
则f(x) 的周期为4.

x∈[-2,0] 时，-x∈[0，2],
则f(-x)=2(-x)-(-x)^2=-2x- x^2,
因为f(x)是奇函数，
所以f(x)=-f(-x)=-[ -2x- x^2]= 2x+x^2 (x∈[-2,0] 时).

当x∈[2，4]时，x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=2(x-4)+(x-4)^2
因为f(x) 的周期为4，
所以f(x)=f(x-4)= 2(x-4)+(x-4)^2
=x^2-6x+8（x∈[2，4]时）.

当x∈[0，2]时，f(x)=2x-x^2
当x∈[2，4]时，f(x)= =x^2-6x+8

所以f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.
f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0.
因为f(x) 的周期为4，
所以f（0）+f(1)+f(2)+……+f(2012)
= [f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]+[ f(4)+f(5)+f(6)+f(7)]+……+[ f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)]+ f(2012)
=0+0+……+0+ f(2012)
= f（0）
=0.

追问

题错了，现在改好了

Answer 2

（1）、f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数；
（2）、x∈[2,4]时，(x-4)∈[-2,0]，所以f(x)=f(x-4)=2(x-4)-(x-4)^3
（3）、根据已知条件易知，f(3)=-f(1),f(4)=-f(2)，所以，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,同理f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=0,……,f(2005)+f(2006)+f(2007)+f(2008)=0,所以f(0)+f(1)+f(2+……+f(2011)=f(0)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=0

Answer 3

f((x+2)+2)=f(x)
所以f(x+4)=f(x)
所以是周期为4的周期函数

解析式相同 因为周期是4

周期是4 所以原式=504f（1）+504f(2)+504f(3)+504f(4)
所以为0

追问

额...题刚打错了，现在好了

Answer 4

⑴f(x+2)=-f(x)
f(x+2)=-f(x+4)
f(x)=f(x+4) T=4
⑵x∈[-2,0]
x+4∈[2,4]
f(x)=f(x+4)
∴f(x)=2x-x^3
⑶f(0)=0
f(1)=1
这样你可以得到周期。

追问

刚打错题了