Question

若已知函数f(X)=x^3-3ax^2+4x+1在X属于(0,1)上是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

y'=3x^2-6ax+4=3(x-a)^2+4-3a^2
y'(0)=4
y'(1)=3-6a+4=7-6a>=0, a<=7/6
若0=<a<=1, y'min=y'(a)=4-3a^2>=0, -2/√3=<a<=2/√3
若a>1 or a<0.最小值在端点取得。
由此综合得： 0=<a<=1时为增函数。

Answer 2

解：f'(x)=2x^2-6ax+4=2(x^2-3ax+2)
若f(x)在(0,1)上是增函数，则(x^2-3ax+2)在(0,1)上是恒大于0的
通过画图可得f(1)>=0且f（0)>=0且3a/2>=1,或3a/2<=0
解得2/3≤a≤1

Answer 3

解: f'(x)=3x^2-6ax+4
当-2√3/3<=a<=2√3/3时, f'(x)恒大于等于0, 即f(x)在R上是增函数, 必有在(0,1)上是增函数.
当a<-2√3/3或a>2√3/3时, f'(x)>=0可解得x>a+√(a^2-4/3)或x<a-√(a^2-4/3).
由于f(x)在(0,1)上是增函数, 则必有(0,1)⊂(a+√(a^2-4/3),+∞)或(0,1)⊂(-∞, a-√(a^2-4/3)).
因此, 有a+√(a^2-4/3)<=0或a-√(a^2-4/3)>=1.
解之, 得a<-2√3/3或2√3/3<a<=7/6.

综上所述, 可得a<=7/6.