Question

三角形ABC中，AD是角BAC的角平分线，E是BC的中点，过E作AD的平分线交AB于M，与CA的延长线交点F。求BM=CF.

Answer 1

∵EF∥AD AD平分∠BAC
∴∠BME=∠BAD=∠DAC=∠F(设这四个角=α)
在ΔEFC中，利用正弦定理
EC/sinα=FC/sin∠FEC
FC/EC=sin∠FEC/sinα
同理，在ΔBME中，
BE/sina=BM/sin∠BME
BM/BE=sin∠BME/sina
而∠BME+∠FEC=180º
sin∠BME=sin∠FEC
∴FC/EC=BM/BE
又E为中点，EC=BE
∴FC=BM
证毕

追问

能否用八年级和八年级以下的定理来证

追答

过C点作CG∥EM交BA的延长线于G。
∵DM∥EM，E是BC的中点
∴EM是ΔBCG的中位线，BM=MG=AM+AG
∵EF∥AD
∴∠1=∠2=∠3，∠4=∠F
又AD平分∠BAC
∴∠3=∠4
∴∠2=∠F
∴AM=AF
同理，AD∥CG
∠3=∠4=∠5=∠G
AG=AC
∴AM+AG=AF+AC
∴MG=FC
∴BM=FC