Question

已知集合P=｛x|1/2≤x≤3｝，函数f（x）=㏒2 （ax2-2x+2）的定义域为Q 若P∩Q=空集，求a取值范围

Answer 1

f（x）=㏒2 （ax2-2x+2）的定义域 需满足
ax^2-2x+2>0
令g(x)=ax^2-2x+2

若a不等于0,则g(x)为抛物线，要使P∩Q=空集，需要在1/2≤x≤3上g(x)<=0
由于抛物线具有连续性，要使在1/2≤x≤3上g(x)<=0
只需要g(1/2)<=0且g(3)<=0
解得a<=-4

若a=0 ，则g(x)=-2x+2 ,有g(1/2)>0不满足题意

综上知，a<=-4

Answer 2

讨论 令f(x)的真数部分大于0 即ax²-2x+2＞0
①若Q本身就是空集 则P∩Q=空集
首先讨论a=0 解出x＜1 P∩Q≠空集 所以这种情况不成立
②令△=4-8a＜0 解得a＞1/2 此时Q为空集 P∩Q=空集
③令△=4-8a≥0 解出a≤1/2
再细讨论 当0＜a ≤1/2时 令f(3)＞0且f(1/2)＞0 对称轴＞3
或令f(3)＞0且f(1/2)＞0 对称轴＜1/2
当a＜0时同理