Question

已知函数f(x）=cos（2x-3/派）+2sin(x-4/派）sin(x+4/派）1。求f(x)的最小正周期和图像对称轴方程。

2.求函数f(x)在区间[-12/派，2/派]上的值域。

Answer 1

已知 f(x)=cos (2x-派/3)+2sin (x-派/4)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)-2sin (x+派/4-派/2)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)-2cos (x+派/4)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)+sin (2x+派/2)
=cos (2x-派/3)-cos 2x
根据和差化积的公式，得
原式=2sin (2x-派/6)sin (派/6)
=sin (2x-派/6)
周期T=2派/2=派，对称轴：2x-派/6=派/2+k派 (k属于整数)
x=派/3+k派/2 (k属于整数)
因为函数 f(x)在-派/6到派/3为单调增函数
所以函数 f(x)在-派/12到派/2上的值域为：[-根号3/2,1]

Answer 2

（1）f(x)=cos(2x-π/3)+2sin(x-π/4)sin(x+π/4）
=cos(2x-π/3)+cos[(x-π/4)-(x+π/4)]-cos[(x-π/4)+(x+π/4)]
=cos(2x-π/3)-cos2x+cos(-π/2)
=cos(2x-π/3)-cos2x
=-2sin(2x-π/6)sin(-π/6)
=sin(2x-π/6)
故最小正周期为π
图像的对称轴方程x=kπ/2+π/3
（2）由x∈[-π/12,π/2]得2x-π/6∈[-π/3,5π/6]
由π/2∈[-π/3,5π/6]
函数最大值为1
最小值为sin(-π/3)=-√3/2
故函数的值域是[-√3/2,1]

这题我们昨天考试卷上出了

Answer 3

已知 f(x)=cos (2x-派/3)+2sin (x-派/4)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)-2sin (x+派/4-派/2)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)-2cos (x+派/4)sin (x+派/4)
=cos (2x-派/3)+sin (2x+派/2)
=cos (2x-派/3)-cos 2x
根据和差化积的公式，得
原式=2sin (2x-派/6)sin (派/6)
=sin (2x-派/6)
周期T=2派/2=派，对称轴：2x-派/6=派/2+k派 (k属于整数)
x=派/3+k派/2 (k属于整数)
因为函数 f(x)在-派/6到派/3为单调增函数
所以函数 f(x)在-派/12到派/2上的值域为：[-根号3/2,1]就是这样了