Question

在数列{an}满足a1=1,an=2a(n-1)+2^n，求数列{an}的前n项和sn

Answer 1

解：
an=2a(n-1)+2^n
an+2^n=2a(n-1)+4×2^(n-1)
(an+2^n)/[a(n-1)+2^(n-1)]=2，为定值。
a1+2^1=1+2=3
数列{an+2^n}是以3为首项，2为公比的等比数列。
an+2^n=3×2^(n-1)
an=3×2^(n-1)-2×2^(n-1)=2^(n-1)
数列{an}的通项公式为an=2^(n-1)，是以1为首项，2为公比的等比数列。
Sn=(2^n-1)/(2-1)=2^n-1

Answer 2

解：
an=2a(n-1)+2^n，
an/2^n=a(n-1)/2^(n-1)+1，
可见{an/2^n}为等差数列且公差为1，
首项a1/2=1/2，
则an/2^n=1/2+(n-1)*1=n-1/2，
an=n2^n-2^(n-1)；
Sn=(2+2*2^2+3*2^3+.....+n2^n)-(1+2+4+8+....+2^(n-1))
2Sn= (2^2+2*2^3+3*2^4+....+n2^(n+1))-(2+4+8+....+2^n)
两式相减
Sn=-（2+2^2+2^3+.....+2^h）+n2^(n+1)-(2^n -1)
=-2(1-2^n)/(1-2)+n2^(n+1)-2^n +1
=2-2^(n+1)+n2^(n+1)-2^n +1
=3+(2n-3)2^n .