Question

高等数学，求极限：

如图，求高人指点~

Answer 1

记y=(1+x)^(1/x) 则limy=e （以下极限的条件都为x->0）
由罗必塔法则
原式=limy'
由于lny=[ln(1+x)]/x，两边求导
y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2=[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2*1/(1+x)
两边取极限
limy'/limy=lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2*lim1/(1+x)=lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2
再由罗必塔法则
lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2=lim[1-ln(1+x)-1]/(2x)=lim[-ln(1+x)]/(2x)=lim[-1/(1+x)]/2=-1/2
所以limy'=limy*(-1/2)=-e/2
所以原式=limy'=-e/2

追问

高手啊，我看李永乐书上是这么写的，请问这一步是怎么变化过来啊？
后面的我知道，结果正确，就问一下这一步的来由~~拜托

追答

有可能是这样的：
(1+x)^(1/x)=e^[ln[(1+x)^(1/x)]]=e^[[ln(1+x)]/x]
所以原式=lim{e^[[ln(1+x)]/x]-e}/x=e*lim{e^[[ln(1+x)]/x-1]-1}/x
然后用了泰勒展开 e^t=1+t+t^2/2!+……
所以e^[[ln(1+x)]/x-1]≈1+[[ln(1+x)]-1]=[ln(1+x)]/x
e^[[ln(1+x)]/x-1]-1≈[[ln(1+x)]-1]=[ln(1+x)]/x-1
所以原式=e*lim{e^[[ln(1+x)]/x-1]-1}/x=e*lim{[ln(1+x)]/x-1}/x
这就是图中的式子……
好像只能这么解释……

追问

呵呵，我懂了，真诚的谢谢你！再追加5分~~

Answer 2

这道题有种解法是错误的：
【先看分子：（1+x）^1/x的极限是e(这个极限的证明是高等数学书上的，书上已经给了证明的，请楼主自己去看证明过程)，这样一来很明显分子就等于0
分母为0
这样很明显的结论就是0/0型的求极限
这里可以首先想到洛比大法则
结果就是e】 这是错误的
正解： 用两次罗必塔法则
记y=(1+x)^(1/x) 则limy=e （以下极限的条件都为x->0）
由罗必塔法则，原式=limy'
由于lny=[ln(1+x)]/x，两边求导：y'/y=[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2=[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2*1/(1+x)
两边取极限：limy'/limy=lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2*lim1/(1+x)=lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2
再次使用由罗必塔法则：lim[x-(1+x)ln(1+x)]/x^2=lim[1-ln(1+x)-1]/(2x)=lim[-ln(1+x)]/(2x)=lim[-1/(1+x)]/2=-1/2
所以limy'=limy*(-1/2)=-e/2
所以原式=limy'=-e/2
那种错误解法很让人迷惑的，因为不能单独的认为那极限为e，具体的原因要你看书上的证明过程你就会明白的了

Answer 3

-e/2