Question

一道非常难的数学问题，高手来啊~~我有一个疑问~~~

已知函数f(x)=ln(1+x)-x g(x)=xlnx,设0<a<b,证明0<g(a)+g(b)<(b-a)ln2

这道题的第一问不写了，比较简单，第二问：
我用的是这个方法，把a当成自变量，b为一个常数，于是有
F(x)=aln(a)+bln(b)-2*(a+b)/2*ln((a+b)/2)
求导数的F`(X)=ln(a)-ln((a+b)/2)-1=ln(2a/a+b)-1 (注意a为自变量，b为一个常数）
F`(X) 恒小于0 于是 F(X)在0<a<b是单调递减的，
于是
在a=b处取最小值，即为0

但是在a=0处时，有一个alna无意义，我问老师说这个取极限，可是这个怎么办啊？

这个就是我疑惑的地方，谢谢大家了，我还会有悬赏，高手来啊~~~~

Answer 1

你是要求a趋向于0时 aln(a)的值吗
aln(a)=ln(a)/(1/a) 因为a趋向于0 ln(a)也趋向于无穷大，1/a也趋向于无穷大
所明核中以用氏早罗必塔法则 对分子分母同时求导
得到 -1/a/(1/a^2)=-a所以
a趋向于激山0时 aln(a)=0

Answer 2

同意wj00713的做法

Answer 3

a趋向于0,lna趋向于负无穷大，a*lna趋向于0