Question

如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B,A,D在一条直线上

已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B,A,D在一条直线上，连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点。
(1)①求证BE=CD;②△AMN是等腰三角形
(2)在如图一的基础上将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图二
所示，请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立
(3)在2的条件下，请你在图二中延长ED交线段BC于点P。
求证：△PBD∽△AMN

Answer 1

分析：
（1）∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAE=∠CAD，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△BAE≌△CAD（SAS）
∴BE=CD（全等三角形对应边相等）
根据全等三角形对应边上的中线相等，可证△AMN是等腰三角形．

（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变．

（3）先证出△ABM≌△ACN（SAS）
可得出∠CAN=∠BAM
所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等）
又∵∠BAC=∠DAE
所以∠MAN=∠DAE=∠BAC
所以△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形
所以∠PBD=∠AMN
所以△PBD∽△AMN（两个角对应相等，两三角形相似）．
解答：证明：（1）①∵∠BAC=∠DAE∴∠BAE=∠CAD，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABE≌△ACD，
∴BE=CD．
②由△ABE≌△ACD，得
∠ABE=∠ACD，BE=CD，
∵M、N分别是BE，CD的中点，
∴BM=CN．
又∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．

（2）（1）中的两个结论仍然成立．

（3）在图②中正确画出线段PD，
由（1）同理可证△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．
又∵∠BAC=∠DAE，
∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．
∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．
∴∠PBD=∠AMN，
∴△PBD∽△AMN．
点评：本题利用了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形一个顶角相等，则底角相等的性质，还有相似三角形的判定（两个角对应相等的两个三角形相似）．

Answer 2

楼主没图 即便这样 你可以看图证明三角形BAE,CAD全等 MN平行BD 此时第一问得证 第二仍然成立 第三问没图就不能胡说了。