Question

一道复合函数的数学题解答过程没明白，求助！

已知函数fx=x2+1,且gx=f[f(x)],G(x)=g(x)-a f(x),试问，是否存在实数a，使得G（x）在（负无穷，-1]上为减函数，并且在（-1,0）上为增函数。为什么“要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数”？谢谢

Answer 1

f(x)为偶函数，得到的g(x)亦为偶函数，根据偶函数相减仍得偶函数可知G(x)也为偶函数，在根据对称就可以解释了。

Answer 2

假设存在实数a，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.
f(x)=x²+1
g(x)=f[f(x)]=[f(x)]²+1=(x²+1)²+1=x^4+2x²+2
G(x)=g(x)-af(x)= x^4+2x²+2-a(x²+1)=x^4+(2-a)x²+2-a

函数G(x)可看作是由函数u=t²+(2-a)t+(2-a)与函数t=x²复合而成，
易知，函数t=x²在（－∞，0）上为减函数，把u进行配方，可以求出对称轴，利用减减为增的理论
要使G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数
则函数u=t²+(2-a)t+(2-a) 在（0，1）为减函数，在（1，＋∞）上为增函数
∴-(2-a)/2=1，
2-a= -2，
a=4，
故存在a=4，使得G(x)在（－∞，－1 ]为减函数，在（-1，0）上为增函数.

Answer 3

f(x)=x^2+1,g(x)=f(f(x))=(x^2+1)^2+1=x^4+2x^2+2,
G(x)=g(x)-af(x)=x^4+(2-a)x^2+(2-a)
则G'(x)=4x^3+(4-2a)x
使得G(x)在(-∞，-1]上为减函数,并且在(-1,0)上为增函数，则
G'(-1)=0,得-4+2a-4=0,a=4
当a=4时，u=t^2-2t-2=(t-1)^2-3
则函数u=t^2+(2-a)t+(2-a) 在(0,1)为减函数，在(1,＋∞)上为增函数